人教版高中数学6.4 计数原理及排列组合（精讲）（基础版）（解析版）.docx

6.4 计数原理及排列组合（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 排队问题
【例1】（2022·广东）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
【答案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240
【解析】（1）从7人中选5人排列，排法有（种）．
（2）先排男生，有种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有种排法．故排法共有（种）．
（3）方法一（特殊元素优先法）   先排甲，有5种排法，其余6人有种排法，故排法共有（种）．方法二（特殊位置优先法）   左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有种排法，其他位置有种排法，故排法共有（种）．
（4）方法一   分两类：第一类，甲在最右边，有种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，其余人全排列，有
种排法．故排法共有（种）．方法二   7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种排法，故排法共有（种）．
（5）7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有（种）．
（6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有（种）．
（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法．故排法共有（种）．
（8）将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有种排法，甲、乙两人可交换位置，故排法共有（种）．
【一隅三反】
1．（2022·河北·藁城新冀明中学）有名男生和甲、乙名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排法？
(1)女生甲排在正中间；
(2)名女生不相邻；
(3)女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）；
(4)名女生中间恰有名男生．
【答案】(1)种；(2)种；(3)种；(4)种.
【解析】(1)女生甲排在正中间，其余人有种排法，因此不同排法种数为种；
(2)将名男生排成一排，有种排法，2名女生可以在
每2名男生之间及两端共6个位置中选出2个排，有种排法，因此不同排法种数为种；
(3)对7名学生全排列有种排法，因此不同排法种数为种；
(4)选1名男生排在2名女生中间，有种排法，将3人看成1个元素，
与4名男生共5个元素排成一排，不同的排法有种，
又因为2名女生有种排法，因此不同排法种数为种.
2．（2022·全国·高三专题练****某种产品的加工需要经过道工序．
(1)如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(2)如果工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(3)如果工序C，D必须不能相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
【答案】(1)96(2)48(3)72
【解析】(1)先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
(2)先排A，B这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
(3)先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将C，D这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序.
3．（2022·全国·高三专题练****现有8个人男3女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？
(7)男