人教版高中数学7.2 空间几何中的垂直（精讲）（基础版）（解析版）.docx

7.2 空间几何中的垂直（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 线线垂直
【例1】（2022·河南）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，，平面平面ABCD．
(1)证明：；
(2)若，E为AD的中点，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明:在中，由余弦定理，得，
可得，则，即．
又因为平面平面ABCD，且平面平面，
所以平面PAC,
又因为平面PAC，所以．
(2)由（1）可知，而E为AD的中点，故．
又，所以．又，故平面PEC．
又平面PEC，所以．
又，平面ABCD，故平面ABCD．
因为平面ABCD，所以．
因为，故，
在中，，故,
故．
【一隅三反】
1．（2022·北京）如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.
(1)求证：；
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在，点为棱的中点
【解析】(1)因为平面底面，平面底面，
平面，所以平面.
又因为平面，所以.
(2)解：存在，点为棱的中点.
连接，交于点，连接，如图所示：
因为底面为平行四边形，所以点为的中点.
在中，因为点分别为的中点.
所以，且.
又因为平面平面，所以平面.
2．（2022·吉林·东北师大附中）如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面ABCD.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)取中点，连，
因为，，，，
所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，则，，

因为面面，面面，面，
所以平面，又平面，所以.
(2)取中点，连，则，且，
因为平面平面，面面，面，
所以平面，又面积为，
三棱锥的体积为.
3．（2022·四川成都）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，，在底面内的射影分别为，.求证：
【答案】证明见解析
【解析】因为在底面内的射影为，所以面面，
又因为，面面，面
所以面，
又因面因此，
同理，
又,面,面
所以面，
又面,所以，
连接，易得，，又，
所以
所以
故，
又,面,面
因此面，
又面
即；
考点二 线面垂直
【例2】（2022·全国·高三专题练****如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，.求证：平面；
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图所示，取中点，连接，
是正三角形，为中点，
又平面平面，且平面平面，
平面，
又平面，，
，且，平面，
平面；.
【一隅三反】
1（2022·全国·高三专题练****在四棱锥中，四边形为菱形，，且平面平面.证明：平面；
【答案】证明见解析.
【解析】连接BD交AC于O，如图，
四边形为菱形，所以，
平面平面，平面平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
，故，
又平面，所以平面.
2．（2022·全国·高三专题练****在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面.
【答案】证明见解析
【解析】证明：图1中，在中，所以.所以
也是直角三角形，
，
在图2中，所以平面.
3．（2022·全国·高三专题练****如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，
连接AF，
由题意知为等腰三角形，
而为的中点，所以．
又因为平面平面，且，平面平面，平面，
所以平面．
而平面，所以．
而，平面，所以平面．
连接，则，，
而，，所以且，
所以是平行四边形，
因此，故平面．
考点三 面面垂直
【例】（2022·全国·高三专题练****在如图1所示的等腰梯形中，，将它沿着两条高折叠成如图2所示的四棱锥（重合），点分别为线段的中点.
(1)证明：平面；
(2)求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)证明：取EC的中点G，连接NG，BG，
因为点分别为线段的中点.所以，
又，所以，所以四边形MBGN是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
(2)证明：因为等腰梯形中，，所以，
所以在中满足，所以，
又，所以平面，所以