人教版高中数学7.3 空间几何体积及表面积（精讲）（基础版）（解析版）.docx

7.3 空间几何体积及表面积（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 柱锥台表面积
【例1-1】（2023·全国·高三专题练****已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，则，解得，则该圆锥的表面积为.
故选：C.
【例1-2】（2023·全国·高三专题练****已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为圆柱的底面半径和高都是，所以圆柱的侧面积.故选：B.
【例1-3】（2022·河南）如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，为线段的四等分点，则该圆台的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆台上底面半径为，下底面半径为，
则，，解得：，，
圆台上、下底面面积分别为：，，
又圆台的侧面积，圆台的表面积.故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练****设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由题意得，
解得，又，则，．故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练****圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆台下底面半径为5，球的直径为，
所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为，画出轴截面如图，

设圆台上底面圆的半径，则
所以球心到上底面的距离，即圆台的高为3，
所以母线长，
所以，故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练****理））在边长为2的菱形中，，垂足为点E，以所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，，如下图示：
绕所在的直线为轴旋转半周，则与重合，
所得旋转体为底面直径、母线为2的半圆锥和上下底面直径分别为2、4，母线为2的半圆台组合而成，如下图示：

所以圆锥表面积为，圆台表面积为，
则几何体的表面积.故选：C
4．（2022·全国·高三专题练****如图，在中，，，是上的高，沿把折起，使，若，则三棱锥的表面积为_______．
【答案】
【解析】由题意，折起前是边上的高，
当折起后，可得，，
因为，，所以，
从而，
所以三棱锥的表面积.
故答案为：.
考点二 柱锥台的体积
【例2-1】（2022·福建）若圆锥的表面积为，圆锥的高与母线长之比，则该圆锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知母线与圆锥底面的夹角的正弦值为，故母线与圆锥底面的夹角为 ，
设底面半径为r，圆锥的高为h，母线长为l，则① ，
则圆锥的表面积为 ，将①代入，解得 ，
圆锥的体积为 ；故选：A.
【例2-2】（2022·江苏南京·高三开学考试）在△ABC中，.则以BC为轴，将△ABC旋转一周所得的几何体的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过A作交于点，则题中旋转体是以绕直角边所在直线BC旋转所成的两个圆锥的组合体.因为，
所以，所以△ABC的面积为：
，解得：.
所以将△ABC旋转一周所得的几何体的体积为：
故选：C.
【例2-3】（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm，上口直径约为28cm，经测量可知圆台的高约为16cm，圆柱的底面直径约为18cm，则该组合体的体积约为（       ）（其中的值取3）
A．11280cm3 B．12380cm3 C．12680cm3 D．12280cm3
【答案】D
【解析】由题意得圆柱的高约为（cm），
则何尊的体积（cm3）故选：D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练****正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积