人教版高中数学7.4 几何法求空间角（精讲）（基础版）（解析版）.docx

7.4 几何法求空间角（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 线线角
【例1】（2022·全国·模拟预测）已知正方体中，E，G分别为，的中点，则直线，CE所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：
取AB的中点F，连接EF，CF，易知，则∠ECF（或其补角）为直线与CE所成角．不妨设，则，，，由余弦定理得，即直线与CE所成角的余弦值为．故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练****如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取的中点，连接，，，，
由正方体的性质可知且，所以为平行四边形，
所以，
所以异面直线与所成的角的平面角为，
又，
则，，
则，
所以，
故选：C．
2．（2022·全国·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径为，母线长为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设底面圆心为O，连接PO，OC，取PO的中点E，连接DE，CE，则，
且，所以为AB与CD所成的角（或其补角）.
由题意知，，所以，所以.
由题意知，，，AB，平面POB，
所以平面POB.又平面POC，所以平面平面POB，
又平面平面，平面POB且，
所以平面POC，因为平面POC，
所以.又，所以，
所以.
故选:B.
3．（2022·黑龙江）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作的中点，连接，作的中点，连接、,
即为异面直线AM与CN所成的角，
由已知条件得，则,,
由余弦定理得,
在△中，有余弦定理可知,
即,解得，
故选：D.
考点二 线面角
【例2-1】（2022·全国·高三专题练****文））如图，已知正四棱锥底面边长为2，侧棱长为4，为侧棱中点，则直线与底面所成角的正弦值为（       ）
A．        B．        C．        D．
【答案】D
【解析】作底面与于，连接.因为正四棱锥底面边长为2，故，又侧棱长为4，故.又为侧棱中点，故到底面的距离为.又,由余弦定理有,故直线与底面所成角的正弦值为
故选：D
【例2-2】（2022·全国·模拟预测（理））如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将棱台补全为如下棱锥，
由，，，易知：，，
由平面，平面，则，，
所以，，故，
所以，若到面的距离为h，又，
则，可得，
综上，与平面所成角，则，即.故选：A
【一隅三反】
1．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA＝PD＝DC＝CB＝AB，E是BP的中点．
(1)求证：EC∥平面APD；
(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值；
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)如图，取中点，连接.因为是的中点，所以，又，故
，所以四边形是平行四边形，故，又因为平面，平面，所以∥平面
(2)取中点，连接，因为，所以，因为平面平面于，所以平面，故是在平面内的投影.所以是与平面所成角.因为四边形中，，所以四边形是直角梯形，又，设，则，在中，易得，所以，，又因为，所以是等腰直角三角形，.所以，故在中，
2．（2022·全国·高三专题练****如图，在四棱锥中，，，平面ABCD，，M为PC的中点.
(1)求证：平面PAD；
(2)设点N在平面PAD内，且平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)取PD的中点E，连接EM，AE，则且，
而，，则，又，
所以，，从而四边形ABME是平行四边形，故.
因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.
(2)
当N为AE的中点时，面PBD，理由如下：
（法一）面ABCD，面ABCD，
，又，