人教版高中数学9.6 导数的综合运用（精讲）（基础版）（解析版）.docx

9.6 导数的综合运用（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 零点问题
【例1】（2022·全国·成都七中）设函数​为常数).
(1)讨论​的单调性；
(2)讨论函数​的零点个数.
【答案】(1)递减区间，递增区间；(2)答案见解析.
【解析】（1）当时，由求导得：，显然函数在上单调递增，而，则当时，，当时，，即在上递减，在上递增，所以函数的递减区间是，递增区间是.
（2）由（1）知函数在上递减，在上递增，，
令，，求导得，函数在上单调递增，函数在上递减，
当时，取值集合为，函数取值集合为，
因此函数在上的函数值集合为，
当时，函数的取值集合为，函数取值集合为，
因此函数在上的函数值集合为，
所以当，即时，函数无零点，当时，函数有一个零点，
当时，函数有两个零点.
【一隅三反】
1．（2022·全国·兴国中学）已知函数在点处的切线方程为．
(1)求函数的单调区间，
(2)若函数有三个零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是(2)
【解析】（1）由题可得，由题意得，解得，
所以，
由得或，由得，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
（2）因为，
由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，
的单调递减区间是，单调递增区间是，
依题意，要使有三个零点，则，即，
解得，经检验，，
根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，所以m的取值范围为．
2．（2022·黑龙江）已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线.
(1)求的值；
(2)判断函数在上零点的个数，并说明理由.
【答案】(1)1(2)1个零点，理由见解析
【解析】（1）依题意得：函数，其导函数为 ，，所以
．
曲线和在原点处有相同的切线.，．
（2）由（1）可知，，所以；
当时，，，此时无零点．
当时，
令
则，显然在上单调递增，
又，，所以存在使得，
因此可得时，，单调递减；
时，，单调递增；又，
所以存在，使得，
即时，，，单调递减；
时，，，单调递增；
又，，所以在上有一个零点．
综上，在上有1个零点．
3．（2022·河南）已知.
(1)讨论的单调性；
(2)若有一个零点，求k的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】（1）的定义域为，
，当时，恒成立，在上单调递增.
当时，在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
综上可知，时，在上单调递增.
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）有一个零点，可得有一个实根，
令，.
令，得；令，得.
∴在上单调递增，在上单调递减.
∴.
又，
∴时，；时，.
大致图象如图所示，
若直线y＝－k与的图象有一个交点，
则或，即或.∴k的取值范围是.
考点二 不等式成立
【例2】（2022·江西南昌）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为(2)
【解析】（1）解：当时，，
，
当时，，，所以，即在上单调递增，
当时，，，所以，即在上单调递减，
则的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：因为，
则，
①当时，即时，因为，，，
所以，因此函数在区间上单调递增，
所以，不等式在区间上无解；
②当时，即时，当时，，，
因此，所以函数在区间上单调递减，
，不等式在区间上有解．
综上，实数的取值范围是．
【例2-2】（2022·四川成都）已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）当时，函数，∴，
当时，，∴在上单调递减，
当时，，∴在上单调递增，
∴，即．
（2）由已知得，
当时，令，解得；令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
∴，
由恒成立得，即，
取对数得，即，
令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴，
又∵，
∴，得，即，
所以a的取值范围为．
【一隅三反】
1．（2022·甘肃定西）已知函数，
(1)求在处的切线方程
(2)若存在时，使恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由，可得，
所以切线的斜率，．
所以在处的切线方程为，即；
（2）令，
则，
令，，
在上，，
在上单调递增，
，
．
2．（2022·四川眉山）已