人教版高中数学第1章 §1.2　常用逻辑用语.docx

§1.2　常用逻辑用语
考试要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，p(x)成立
存在M中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，乛p(x)
∀x∈M，乛p(x)
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
①若p是q的充分条件，则A⊆B；
②若p是q的充分不必要条件，则AB；
③若p是q的必要不充分条件，则BA；
④若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(　√　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　√　)
(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　√　)
(4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　×　)
教材改编题
1．“a>b”是“ac2>bc2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，
所以a>b⇏ac2>bc2，
当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，
所以ac2>bc2⇒a>b，
即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．
2．使－2<x<2成立的一个充分条件是(　　)
A．x<2 B．0<x<2
C．－2≤x≤2 D．x>0
答案　B
3．“等边三角形都是等腰三角形”的否定是________．
答案　存在一个等边三角形，它不是等腰三角形
题型一　充分、必要条件的判定
例1　(1)已知p：x<1，q：log2x<0，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由x<1知x>0，所以p对应的x的范围为(0，＋∞)，
由log2x<0知0<x<1，
所以q对应的x的范围为(0,1)，
显然(0,1)(0，＋∞)，
所以p是q的必要不充分条件．
(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　B
解析　当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．
教师备选
1．在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，
则∠B＝90°，
即△ABC为直角三角形，
若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，
所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，
综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．
2．(2022·宁波模拟)设a，b∈R，p：log2(a－1)＋log2(b－1)>0，q：＋<1，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由题意得，p