人教版高中数学第2讲 椭圆(解析版）.docx

第2讲　椭圆
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：椭圆的定义
突破二：利用椭圆定义求方程
突破三：椭圆上点到焦点的距离及最值
突破四：椭圆上点到焦点和定点距离和，差最值
突破五：椭圆中焦点三角形问题
突破六：椭圆中轨迹方程问题
突破七：椭圆离心率问题
突破八：直线与椭圆的位置关系
突破九：椭圆中的中点弦问题
突破十：椭圆的弦长问题
突破十一：椭圆中定点，定值问题
突破十二：椭圆中定直线问题
突破十三：椭圆中向量问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，
这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.
说明：
若，的轨迹为线段；
若，的轨迹无图形
2、椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
（）
（）
范围
，
，
顶点
，，
，
轴长
短轴长＝，长轴长＝
焦点
焦距
对称性
对称轴：轴、轴　对称中心：原点
离心率
，
3、直线与椭圆的位置关系
（1）直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
（2）直线与椭圆的相交弦
直线与椭圆问题（韦达定理的运用）
①弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：
弦长

弦长
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
②结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为
运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，
两式相减得：，
即 ，故
结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：
③.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，
．求：的面积（用、、表示）．
设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．
由余弦定理知： · ①
由椭圆定义知： ②，则得
故
第二部分：重难点题型突破
突破一：椭圆的定义
1．（2022·浙江·杭师大附中高二期中）椭圆上一点P与焦点的距离为5，则点P与另一个焦点的距离为（    ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】根据椭圆的定义知，，
因为，所以．
故选：B.
2．（2022·北京市海淀外国语实验学校高二阶段练****设定点，，动点P满足条件，则动点P的轨迹是（    ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．双曲线
【答案】C
【详解】解：定点，，，
常数，，
所以动点满足条件或，则点的轨迹是线段或椭圆．
故选：C．
3．（2022·广东·肇庆市第一中学高三阶段练****已知分别是椭圆的两个焦点，点在上，若的最大值为2，则（    ）
A． B．2 C．4 D．16
【答案】B
【详解】根据椭圆的定义得，则，当且仅当时，等号成立.
故选:B
4．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练****已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是7，则点到另一个焦点的距离为（    ）
A．5 B．3 C．2 D．7
【答案】B
【详解】解：由知长半轴长，，
点到另一个焦点的距离为.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练****设定点，，动点满足条件，则动点的轨迹是（    ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段或不存在
【答案】D
【详解】错解：
选A，由题中坐标得：，又，点的轨迹为椭圆.
错因：
忽略了椭圆的定义中这一条件.
正解：
由题中坐标得：，又又，
则当时，点的轨迹为线段；当时，点的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹不存在.
故选：D.
突破二：利用椭圆定义求方程
1．（2022·四川成都·高二期中（理））己知两点，且是与的等差中项，则动点P的轨迹方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
又是与的等差中项，
所以，
则点P到定点的距离之和为8，（大于），
所以动点P的轨迹是以为焦点，
，则，，
所以椭圆方程为：，
故选：.
2．（2022·全国·高三专题练****平面直角坐标系中，椭圆C中心