人教版高中数学第2章 §2.2　函数的单调性与最值.docx

§2.2　函数的单调性与最值
考试要求　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈I，
都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈I，
使得f(x0)＝M
(1)∀x∈I，
都有f(x)≥M；
(2)∃x0∈I，
使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
常用结论
1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若f(x)的定义域为R，且f(－3)<f(2)，则f(x)为R上的增函数．(　×　)
(2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．(　×　)
(3)因为y＝x与y＝ex都是增函数，所以y＝xex在定义域内为增函数．(　×　)
(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)
教材改编题
1．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是(　　)
A．y＝|x＋1| B．y＝2－x
C．y＝ D．y＝x2－x＋1
答案　A
2．函数y＝在区间[2,3]上的最大值是________．
答案　2
解析　函数y＝＝1＋在[2,3]上单调递减，当x＝2时，y＝取得最大值＝2.
3．函数y＝在(－∞，1)上为增函数，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，0)
题型一　确定函数的单调性
命题点1　求具体函数的单调区间
例1　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x D．y＝
答案　AC
解析　∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，
∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；
由y＝|x2－2x|的图象知，故B不正确；
对于选项C，y′＝1－sin x≥0，
∴y＝x＋cos x在R上为增函数，故C正确；
y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确．
命题点2　判断或证明函数的单调性
例2　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解　方法一　设－1<x1<x2<1，
f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，
由于－1<x1<x2<1，
所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
方法二　f′(x)＝
＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
教师备选
1．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．
答案　[0,1)
解析　由题意知g(x)＝该函数的图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
2．已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上