人教版高中数学第2章 §2.6　指数与指数函数.docx

§2.6　指数与指数函数
考试要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识梳理
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，
0<y<1
当x<0时，y>1；
当x>0时，
0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝－4.(　×　)
(2)2a·2b＝2ab.(　×　)
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　√　)
(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　)
教材改编题
1．化简的结果为(　　)
A．5 B.
C．－ D．－5
答案　B
解析　原式＝＝＝＝＝.
2．函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
答案　(1,3)
3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
答案　c<b<a
解析　∵y＝x是R上的减函数，
∴>>0，即a>b>1，
又c＝<0＝1，
∴c<b<a.
题型一　指数幂的运算
例1　(1)(2022·沧州联考)(a>0，b>0)＝________.
答案　
解析　原式＝＝.
(2)若＋＝3(x>0)，则＝________.
答案　
解析　由＋＝3，
两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47，
∴x2＋x－2－2＝45.
＋＝＋
＝(x－1＋x－1)
＝3×(7－1)＝18.
∴＝.
教师备选
(2022·杭州模拟)化简(a>0，b>0)的结果是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　＝
＝
＝ab－1＝.
思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练1　(1)已知a>0，则化为(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　原式＝＝
＝＝.
(2)计算：－0＋＋＝________.
答案　π＋8
解析　原式＝－1＋|3－π|＋23＝4－1＋π－3＋8＝π＋8.
题型二　指数函数的图象及应用
例2　(1)(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是(　　)
A．a＝b＝0 B．a<b<0
C．0<a<b D．0<b<a
答案　ABD
解析　如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0，故选ABD.
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
答案　(0,2)
解析　在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．
∴b的取值范围是(0,2)．
教师备选
在同一直角坐标系中，指数函数y＝x，二次函数y＝ax2－bx的图象可能是(　　)
答案　B
解析