人教版高中数学第2章 §2.7　对数与对数函数.docx

§2.7　对数与对数函数
考试要求　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；
当0<x<1时，
当x>1时，y<0；
当0<x<1时，
y<0
y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．logab·logba＝1，＝logab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)
(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)
(3)函数y＝loga与函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数．(　×　)
(4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　√　)
教材改编题
1．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 ．
答案　(3,2)
解析　∵loga1＝0，
令x－2＝1，∴x＝3，
∴y＝loga1＋2＝2，
∴原函数的图象恒过定点(3,2)．
2．计算：(log29)·(log34)＝ .
答案　4
解析　(log29)·(log34)＝×＝×＝4.
3．若函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝ .
答案　或2
解析　当a>1时，loga4－loga2＝loga2＝1，
∴a＝2；
当0<a<1时，loga2－loga4＝－loga2＝1，
∴a＝，综上有a＝或2.
题型一　对数式的运算
例1　(1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)
A. B．10 C．20 D．100
答案　A
解析　2a＝5b＝m，
∴log2m＝a，log5m＝b，
∴＋＝＋＝logm2＋logm5
＝logm10＝2，
∴m2＝10，
∴m＝(舍m＝－)．
(2)计算：log535＋－log5－log514＝ .
答案　2
解析　原式＝log535－log5－log514＋
＝log5＋
＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.
教师备选
计算：＝ .
答案　1
解析　原式＝
＝
＝＝＝＝1.
思维升华　解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
跟踪训练1　(1)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋b＝ .
答案　6
解析　设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝，
所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，
所以b2b＝，即2b＝b2，
又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
所以a＋b＝6.
(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝