人教版高中数学第3讲 双曲线(解析版）.docx

第3讲　双曲线
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：双曲线的定义及其应用
突破二：求双曲线的轨迹方程
突破三：双曲线的渐近线
突破四：双曲线的离心率
突破五：双曲线中焦点三角形
突破六：双曲线中中点弦问题
突破七：双曲线弦长及面积
突破八：双曲线中定点，定值问题
突破九：双曲线中定直线问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、双曲线的定义
（1）定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
（2）集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
（3）说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
2、双曲线的简单几何性质
标准方程
（）
（）
图形
性质
范围
或
或
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
，
,
渐近线
离心率
，，
a，b，c间的关系
3、等轴双曲线
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
4、直线与双曲线的位置关系
（1）代数法：设直线，双曲线联立解得：
①时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
②时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
5、弦长公式
（1）直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则

为直线斜率
（2）通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
6、双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
7、双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
第二部分：重难点题型突破
突破一：双曲线的定义及其应用
1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（    ）
A．2 B．10 C．14 D．2或10
【答案】D
【详解】因为双曲线，
所以，则，
因为点P到它的一个焦点的距离等于6，
设点P到另一个焦点的距离为，
所以，解得或
故选：D.
2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知，点满足方程，且有，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，点且满足，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，
其中，可得，则，
可得双曲线的渐近线方程为，
又因为点满足方程，即，
结合双曲线的几何性质，可得，即的取值范围是.
故选：B.
3．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设为椭圆和双曲线的一个公共点，且在第一象限，是的左焦点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由椭圆方程知其焦点为；由双曲线方程知其焦点为；
椭圆与双曲线共焦点，设其右焦点为，
为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，
由椭圆和双曲线定义知：，解得：.
故选：A.
4．（2022·江西·模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，过点作渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如下图所示，点到直线的距离为，
连接，由双曲线的定义可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，故，可得，
所以，，因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
5．（2022·青海西宁·二模（文））设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（    ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解