人教版高中数学第04讲 数列求和 (精讲）（教师版）.docx

第04讲 数列求和
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：裂项相消求和法
题型二：错位相减求和法
题型三：分组求和法
题型四：倒序相加求和法
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1.公式法
(1)等差数列前项和公式;
(2)等比数列前项和公式
2.裂项相消求和法:
裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前项和.
①
②
③
④
⑤
3.错位相减求和法:
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
4.分组求和法:
如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
5.倒序相加求和法:
即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·福建·厦门一中高二阶段练****若数列满足，则的前2022项和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：由题得，
所以的前2022项和为.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练****文））若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为（       ）
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋n－2 D．2n＋1＋n2－2
【答案】D
由题可知：设数列{an}的前n项和为
所以
即
所以
故
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练****文））设，
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】B
由于，故原式.
4．（2022·江苏·高二课时练****求和：.
【答案】2076
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：裂项相消求和法
例题1．（2022·浙江省淳安中学高二期中）数列的前2022项和为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：
记的前项和为，
则
；
故选：B
例题2．（2022·河南安阳·高二阶段练****理））已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)(2)见解析.
(1)设的公差为 ，因为，，成等比数列，
所以 ，
因为是递增，所以，故 ，所以.
(2),
所以 ，
因为 单调递减，所以 单调递增，
故当 时， ，而，
故.
例题3．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二阶段练****已知为等差数列的前项和，，．
(1)求、；
(2)若数列的前项和，求满足的最小正整数．
【答案】(1)an＝4n﹣1，(2)19
(1)设等差数列{an}的公差为d，则，即，解得，故，
(2)由（1）得，.故，令有，即，解得，故满足满足的最小正整数为19
例题4．（2022·全国·高三专题练****已知正项数列的前项和满足：，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求证：数列的前项和.
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)由题意：，
两式相减得到，
又，是首项为，公比为的等比数列，
再由成等差数列得，得，
即，则，
的通项公式为.
(2)由题意知，
例题5．（2022·河南濮阳·高二期末（文））已知数列的前项和为，，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知是，的等比中项，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
(1)当时，，
故，又，且，
，满足，
故数列为公差为3的等差数列，通项公式为，
(2)由题意得：，
则，
则
例题6．（2022·海南华侨中学高二期中）设等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)解：设公比为，由，，
所以，
解得，，
所以．
(2)解：由（1）及，
所以，
所以
因为，