人教版高中数学第05讲 空间向量及其应用(练）（教师版）.docx

第05讲 空间向量及其应用 (精练）
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高二专题练****已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意和空间向量的共面定理，
结合向量（）+（）＝2，
得与是共面向量，
同理与是共面向量，
所以与不能与、构成空间的一个基底；
又与和不共面，
所以与、构成空间的一个基底．
故选：C．
2．（2022·重庆南开中学高一期末）如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
故选：A
3．（2022·湖南益阳·高二期末）已知向量，，若，则（       ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
由，则，即，
有，
所以，
所以，则
故选：D
4．（2022·四川省蒲江县蒲江中学高二阶段练****理））设、，向量，，且，，则（          ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
5．（2022·四川·阆中中学高二阶段练****理））已知存在非零实数使得，且，则的最小值为（       ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
由题意，存在非零实数使得，可得，即四点共面，
因为，
根据向量的共面定量，可得，即，
又由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
6．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，
P为所在棱的中点，则满足直线的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点，
对于A，，，，与不垂直，A不是；
对于B，，，，，B是；
对于C，，，，与不垂直，C不是；
对于D，，，，与不垂直，D不是.
故选：B
7．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，，
由得，即，
由于，所以，，
所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，
由图知：，
故选：B.
8．（2022·全国·高二专题练****已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为(       )
A．4 B．12 C．8 D．6
【答案】C
设正方体内切球的球心为，则，，
∴＝，
又点在正方体表面上运动，∴当为正方体顶点时，最大，且最大值为正方体体对角线的一半，，∴的最大值为.
故选：C.
二、多选题
9．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）如图，在平行六面体中，，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（       ）
A．
B．向量共面
C．
D．若，则该平行六面体的高为
【答案】ACD
在平行六面体中，令，不妨令，
依题意，，，
因点M，N分别是棱的中点，则，
，则有，A正确；
，若向量共面，
则存在唯一实数对使得，
即，而不共面，则有，显然不成立，B不正确；
由,则，故C正确.
连接，依题意，，即四面体是正四面体，
因此，平行六面体的高等于点到平面的距离，即正四面体的高h，
由知，
由选项A知，，
则平面，是平面的一个法向量，，
，
则，所以平行六面体的高为，D正确.
故选：ACD
10．（2022·全国·高一）在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点,故可设棱长为2，在正三棱柱中建立如图所示的空间直角坐标系：
对于A， ,
故 ,
则，故，即，故A正确；
对于B， ,
故 ,
则，故不垂直，故B不正确；
对于C， ,
故 ,
则，故，即，故C正确；
对于D， ,
故 ,
则，故不垂直，故D不正确；
故选：AC
三、填空题
11．（2022·广东·清远市博爱学校高一阶段练****已知与夹角为60°且，，则在方向上的投影向量是______．