人教版高中数学第5章 §5.4　平面向量中的综合问题　培优课.docx

§5.4　平面向量中的综合问题
题型一　平面向量在几何中的应用
例1　(1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　)
A．3 B．3
C．3 D．6
答案　A
解析　因为＝2，
所以＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋，
设AB＝x，则＝2，
得37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92，
即2x2＋9x－126＝0，
因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，
所以BC＝
＝＝3.
(2)已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
证明　取{，}为基底，设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b，
∴2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
上面两式相加，得2＋2＝2(a2＋b2)，
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
思维升华　用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
跟踪训练1　(1)(2020·全国Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若·＝1，则点C的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．直线
答案　A
解析　建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，
设点A，B的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C为(x，y)，
则＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)，
所以·＝(x－a)(x＋a)＋y·y
＝x2＋y2－a2＝1，
整理得x2＋y2＝a2＋1.
因此点C的轨迹为圆．
(2)(多选)在四边形ABCD中，＝＝(6,8)，且＋＝，则下列结论成立的是(　　)
A．四边形ABCD为菱形
B．∠BAD＝120°
C．||＝10
D．||＝10
答案　ABD
解析　＝＝(6,8)，
则四边形ABCD为平行四边形，
设m，n，p都是单位向量，m＋n＝p，
则(m＋n)2＝p2，m2＋2m·n＋n2＝p2，
1＋2m·n＋1＝1，
则m·n＝－＝cos〈m，n〉，所以〈m，n〉＝120°，
因此由＋＝知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的平分线，因此四边形ABCD是菱形，而||＝10，所以||＝||＝10，||＝10.
题型二　和向量有关的最值(范围)问题
命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2　(2022·广州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若＝x＋y(x>0，y>0)，则的最大值为(　　)
A. B.
C．1 D．2
答案　A
解析　设BD，AE交于O，因为DE∥AB，
所以△AOB∽△EOD，所以＝＝2，
所以AO＝2OE，则＝，
所以＝x＋y＝x＋y，
因为O，F，B三点共线，
所以x＋y＝1，即2－3x＝2y，
所以＝＝，
因为x>0，y>0，
所以4y＋≥2＝4，
当且仅当4y＝，即y＝时等号成立，
此时x＝，
所以＝≤＝.
命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题
例3　(2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则· 的取值范围是(　　)
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
答案　A
解析　如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，
F(－1，)．
设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2,0)，
且－1<x<3.
所以·＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．
命题点3　与模有关的最值(范围)问题
例4　已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，则|2a－b|的最大值为________．
答案　4
解析　方法一　由题意得|a|＝1，|b|＝2，
a·b＝sin θ－cos θ
＝2sin，
所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b
＝4×12＋22－8sin
＝8－8sin.
所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16，
故|2a－b|的最大值为
4.
方法二　因为a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，
所以2a－b＝(2cos θ＋，2sin θ－1)，
所以|2a－b|＝
＝
＝.
故|2a－b|的最大值为＝4.
方法三　由题意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故|2a－b|的最大值为4.
思维升华　向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用