人教高中数学第06讲 二次函数与幂函数 （讲）解析版.docx

第06讲 二次函数与幂函数
【学科素养】数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析
【课标解读】
1.了解二次函数、幂函数的概念，掌握幂函数，，的图象和性质。
2.了解幂函数的变化特征。
【备考策略】
1.与二次函数相关的单调性、最值问题，除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；
2.幂函数的图象与性质的应用；
3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质。
【核心知识】
知识点一 幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
知识点二 二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
【特别提醒】
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.
【高频考点】
高频考点一 幂函数的图象与性质
例1.(2018·上海卷)已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.
【答案】－1
【解析】由题意知α可取－1，1，3.又y＝xα在(0，＋∞)上是减函数，
∴α<0，取α＝－1.
【方法技巧】幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.　
【变式探究】(2021·衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f (x)＝(m－1)xn的图象上．设a＝f ，b＝f (ln π)，
c＝f (2)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．b<a<c
【答案】A　
【解析】因为f (x)＝(m－1)xn为幂函数，
所以m－1＝1，则m＝2，f (x)＝xn.
又点(2,8)在函数f (x)＝xn的图象上，
所以8＝2n，知n＝3，故f (x)＝x3，且在R上是增函数．
又ln π>1>2＝>，
所以f (ln π)>f (2)>f ，则