人教高中数学第8章 §8.11　圆锥曲线中定点与定值问题.docx

§8.11　圆锥曲线中定点与定值问题
题型一　定点问题
例1　(2022·黄山质检)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，其短轴长为2，离心率为e1，双曲线C2：－＝1(p>0，q>0)的渐近线为y＝±x，离心率为e2，且e1·e2＝1.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设椭圆C1的右焦点为F，动直线l(l不垂直于坐标轴)交椭圆C1于M，N不同的两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，若k1＝－k2，试探究该动直线l是否过x轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
解　(1)由题意知，
椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，
其短轴长为2，可得b＝，椭圆的离心率为e1，
双曲线C2：－＝1(p>0，q>0)的渐近线为y＝±x，
即＝，即＝3，
所以离心率为e2＝＝＝2，
且e1·e2＝1.
所以e1＝＝＝＝，
解得a＝2，
所以椭圆C1的方程为＋＝1.
(2)假设该直线过定点(t,0)，
设直线l的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，
联立
消去y，整理得
(3＋4k2)x2－8k2tx＋4k2t2－12＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ>0⇒48(k2t2－3－4k2)<0，
k1＋k2＝＋
＝＋
＝k·
＝k·＝0，
所以2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，
即2·－(t＋1)·＋2t
＝＝0，
所以－24＋6t＝0，
解得t＝4，即直线过定点(4,0)．
教师备选
在平面直角坐标系中，已知动点M(x，y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点N(4,4)作斜率为k1，k2的直线分别交曲线C于不同于N的A，B两点，且＋＝1.证明：直线AB恒过定点．
(1)解　由题意可知＝y＋1，化简可得曲线C：x2＝4y.
(2)证明　由题意可知，N(4,4)是曲线C：x2＝4y上的点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则lNA：y＝k1(x－4)＋4，lNB：y＝k2(x－4)＋4，
联立直线NA的方程与抛物线C的方程，
⇒x2－4k1x＋16(k1－1)＝0，
解得x1＝4(k1－1)，①
同理可得x2＝4(k2－1)，②
而lAB：y－＝(x－x1)，③
又＋＝1，④
由①②③④整理可得lAB：y＝(k1＋k2－2)x－4，
故直线AB恒过定点(0，－4)．
思维升华　求解直线或曲线过定点问题的基本思路
(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
跟踪训练1　(2022·邯郸质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点.
(1)求椭圆方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m(k≠0)交椭圆C于A，B两点，且线段AB的中点M在直线x＝上，求证：线段AB的中垂线恒过定点N.
(1)解　椭圆过点，即＋＝1，
又2c＝2，得a2＝b2＋3，
所以a2＝4，b2＝1，即椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明　由
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，
设AB的中点M为(x0，y0)，
得x0＝－＝，
即1＋4k2＝－8km，
所以y0＝kx0＋m＝k－＝－.
所以AB的中垂线方程为y＋＝－，
即y＝－，
故AB的中垂线恒过点N.
题型二　定值问题
例2　(2022·济南模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上的动点M到直线x＝－1的距离比到抛物线E的焦点F的距离大.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)设点Q是直线x＝－1(y≠0)上的任意一点，过点P(1,0)的直线l与抛物线E交于A，B两点，记直线AQ，BQ，PQ的斜率分别为kAQ，kBQ，kPQ，证明：为定值．
(1)解　由题意可知抛物线E的准线方程为
x＝－，
所以－＝－，即p＝1，
故抛物线E的标准方程为y2＝2x.
(2)证明　设Q(－1，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为直线l的斜率显然不为0，故可设直线l的方程为x＝ty＋1.
联立消去x，得y2－2ty－2＝0.
Δ＝