人教高中数学第12讲 解析几何通解研究（解析版）.docx

第12讲 解析几何通解研究
高考预测一：向量搭桥进行翻译
类型一：以夹角为锐角、直角、钝角为背景的向量翻译
1．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点．
（Ⅰ）当抛物线过点时，求抛物线的方程；
（Ⅱ）证明：是定值．
【解析】解：（Ⅰ）因为抛物线过点，
所以，，
所以抛物线的方程；
（Ⅱ）证明：当直线有斜率时，，设直线的方程为，则，
将（1）代入（2）得，，化简得，
设，的坐标分别为，，，，则，
因为点，都在抛物线上，所以，，
所以，所以，
因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，
所以，，所以，是定值．
当直线无斜率时，，设，的坐标分别为，，，，则，代入抛物线方程得，，，
所以，因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，
所以，，所以，是定值．
综上，，是定值．
2．已知椭圆．
（1）求椭圆的短轴长和离心率；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，，设的中点为，点，判断与的大小，并证明你的结论．
【解析】解：（1）由题，椭圆可变形为，，
故短轴长为，
（2）当为时，代入可得，
此时，，，，
当为斜率存在时，设
代入到，得，
，
令，，，
则，，
此时，，，，
．
，点在以为直径的圆内部．
所以，
综上所述，．
3．如图，椭圆的一个焦点是，为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线交椭圆于、两点．若直线绕点任意转动，值有，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）设，为短轴的两个三等分点，
因为为正三角形，所以，
即，解得．，因此，椭圆方程为．
（Ⅱ）设，，，．
（ⅰ）当直线与轴重合时，
，，
因此，恒有．
（ⅱ）当直线不与轴重合时，
设直线的方程为：，代入，
整理得，
所以
因为恒有，所以恒为钝角．
即恒成立．
．
又，所以对恒成立，
即对恒成立．
当时，最小值为0，所以．
，，
因为，，所以，即，
解得或（舍去），即，
当与轴垂直时，，，
因此，恒有．
综合，的取值范围为，．
4．已知椭圆过点，、为其左、右焦点，且△的面积等于．
（1）求椭圆的方程；
（2）若、是直线上的两个动点，满足，问以为直径的圆是否恒过定点？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．
【解析】解：（1）设椭圆的焦距为，则
△的面积等于，
，、，
椭圆过点，，
椭圆的方程为；
（2）设，，则，
，
，
以为直径的圆的圆心为，，半径为
圆的方程为
即
令，整理得
或
以为直径的圆必过定点和．
5．已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【解析】解：（1）椭圆过点，且离心率为，则，．则
椭圆的方程；
（2）方法一：当的斜率为0时，显然，与以线段为直径的圆的外面，
当的斜率不为0时，设的方程为：，点，，，，中点为，．
由，得，所以，，从而，
所以，
，
故，
所以，故，在以为直径的圆外．
解法二：当的斜率为0时，显然，与以线段为直径的圆的外面，
当的斜率不为0时，设的方程为：，设点，，，，
则，，，，
由，得，
，，
，
，，
又，不共线，所以为锐角，
故点，在以为直径的圆外．
6．已知抛物线，过点的直线交与、两点，圆是以线段为直径的圆．
（Ⅰ）证明：坐标原点在圆上；
（Ⅱ）设圆过点，求直线与圆的方程．
【解析】（1）证明：法一：由题意知直线斜率必存在，设的方程为，，，，，
联立，消去，整理，△，
，，
，，
则以为直径的圆的方程为，即，
因此满足此方程，所以坐标原点在圆上．（6分）
法二：，
，
原点在以为直径的圆上．
综上，坐标原点在圆上．
（2）解：由（1）知以为直径的圆的方程为：，
由于在此圆上，代入上述方程，可得：，
得或，
当时，直线的方程为，即，圆的方程为：．
当时，直线的方程为，即，圆的方程为：．
类型二：以共线为背景的向量翻译
7．已知、分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与轴相交于点，并且满足，．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设、是这个椭圆上的两点，并且满足，当时，求直线的斜率的取值范围．
【解析】解：（1）由于，（3分）
解得，从而所求椭圆的方程为．（5分）
（2），，，三点共线，而点的坐标为．
设直线的方程为，
其中为直线的斜率，依