人教高中数学第20讲 独立性检验与条件概率（教师版）.docx

第20讲 独立性检验与条件概率
真题展示
2022新高考一卷第20题
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生****惯（卫生****惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
（1）能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生****惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生****惯不够良好”， 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与的比值是卫生****惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出的估计值．
附：．
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【思路分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算，对照附表得出结论．
（2）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；
（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．
【解析】（1）补充列联表为：
不够良好
良好
合计
病例组
40
60
100
对照组
10
90
100
合计
50
150
200
计算，
所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生****惯有差异．
（2）证明：
；
（ⅱ）利用调查数据，，，，，所以．
【试题评价】本题考查了独立性检验的应用，也考查了条件概率的应用，是中档题．
知识要点整理
知识点一　分类变量
为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．
知识点二　2×2列联表
1．2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数．
2．定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示：
X
Y
合计
Y＝0
Y＝1
X＝0
a
b
a＋b
X＝1
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
像这种形式的数据统计表称为2×2列联表．
知识点三　独立性检验
1．定义：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验．
2．χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
3．独立性检验解决实际问题的主要环节
(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．
(3)根据检验规则得出推断结论．
(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．
知识点四　条件概率的概念
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
思考　P(A|B)，P(B)，P(AB)间存在怎样的等量关系？
答案　P(A|B)＝，其中P(B)>0.
知识点五 　概率乘法公式
对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式．
知识点六　条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
(3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
知识点七　全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式．
*知识点八　贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝
三年真题
1．甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.63