人教高中数学第27讲 正弦定理、余弦定理及应用（解析版）.docx

第27讲 正弦定理、余弦定理
【基础知识网络图】
【基础知识全通关】
一、正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：
【微点拨】（1）正弦定理适合于任何三角形，且（为的外接圆半径）；
（2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．
（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.
二、余弦定理
在△ABC中，
，，
变形为：
，，
【微点拨】（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；
（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；
（3）正、余弦定理可以结合使用.
三、三角形的面积公式
(1) ，其中为边上的高
(2)
（3），其中
四、三角形形状的判定方法
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C，
解斜三角形的主要依据是：
（1）角与角关系：由于A+B+C = π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；；
（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；
（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理
常用两种途径：
（1）由正余弦定理将边转化为角；
（2）由正余弦定理将角转化为边.
【微点拨】①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.②在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列.
五、解三角形应用的分类
（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；
（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；
（3）角度问题；
（4）面积问题.
【考点研****一点通】
考点01运用正余弦定理解三角形
例1、在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求，的值：
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）由，得，
因为在中，，得，
由余弦定理，得，
因为，所以，
解得，所以.
（2）由，得
由正弦定理得.
方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．
【变式1-1】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，若，，则______．
【答案】4
【解析】
∵，
∴由正弦定理得，
∴，
又，
∴由余弦定理得，∴，
∵为的内角，∴，∴，
∴，
故答案为：4．
【变式1-2】在中，若 ，则=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
余弦定理将各值代入
得
解得或(舍去)选A.
考点02利用正余弦定理判定三角形形状
例2、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
【解析】　(1)由已知，根据正弦定理得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，A＝120°.
(2)由(1)得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，∵A＝120°，∴＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，与sinB＋sinC＝1联立方程组解得：sinB＝sinC＝，∵0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B＝C＝30°，∴△ABC是等腰钝角三角形．
【变式】(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】　(1)