人教高中数学第二讲常用逻辑用语 讲义解析版.docx

第二讲：常用逻辑用语
【考点梳理】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若，则是的充分条件，是的必要条件
是的充分不必要条件
且
是的必要不充分条件
且
是的充要
条件
是的既不充分也不必要
条件
且
2．全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
(2)全称命题和特称命题
　　名称
形式　　
全称命题
特称命题
结构
对中任意一个，
有成立
存在中的一个，
使成立
简记
否定
【典型题型讲解】
考点一：充分条件与必要条件的判断
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）“”是“点在圆外”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】将化为标准方程，得
当点在圆外时，有，解得
∴“”是“点”在圆外”的必要不充分条件.
故选：B.
【方法技巧与总结】
1.要明确题中题意，找出条件和结论.
2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.
【变式训练】
1.已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
由线面垂直的性质知，若，，则成立，即充分性成立；
根据线面垂直的定义，必须垂直平面内的两条相交直线，才有，即必要性不成立.
故选：A.
2.已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
函数为增函数,则 ,此时,故函数在上单调递增;当在
上单调递增时, ,,所以,故为增函数.
故选:C
3.在等比数列中，已知，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
∵公比，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴且，
∴且，
即“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
考点二：充分条件与必要条件的应用
【典例例题】
例1.“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
在上恒成立，
即在恒成立，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，
所以
因为，而，
所以“”是“在上恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
【方法技巧与总结】
1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.
2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.
【变式训练】
1.若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意可得 ，而
则 ，故，
故选：D
2.（多选）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
由题意，关于的不等式对恒成立，
则，解得，
对于选项A中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件；
对于选项B 中，“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件；
对于选项C中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件；
对于选项D中，“”是“关于的不等式对恒成立”必要不充分条件.
故选：BD.
3.已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为________．
【答案】
【详解】
函数的对称轴为，开口向上，
所以函数在上递增，
当时，；当时，.
所以.
，
由于“”是“”的充分条件，
所以，，
解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：
考点三：全称量词命题与存在量词命题的真假
【典例例题】
例1.已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．
其中是真命题的有（       ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】C
【详解】
对于①，由得：，，，则，①正确；
对于②，，，即，则，②正确；
对于③，函数在上为减函数，而，则，即，，③错误；
对于④，当时，，，即，④错误，
所以所给命题中，真命题的是①②．
故选：C
【方法技巧与总结】
1