人教高中数学第九讲导数与函数的单调性解析版.docx

第九讲：导数与函数的单调性
【考点梳理】
1、求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
2、由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间,有解.
②已知在区间上存在单调减区间,有解.
（3）已知函数在区间上不单调，使得（为变号零点）
3、含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
【典型题型讲解】
考点一：求函数的单调区间（不含参）
【典例例题】
例1.函数的单调递减区间是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：，
则，
由得，
故选：D.
例2.函数的单调递减区间为（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题得函数的定义域为.
，
令.
所以函数的单调递减区间为.
故选：A
【方法技巧与总结】
函数单调区间的求法：解不等式法，列表格法
【变式训练】
1.函数的单调递减区间是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可得，且函数的定义域为（0，+∞）．
由，得，即的单调递减区间是．
故选：B
2.函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
对于函数，有，可得，
所以，函数的定义域为，，
由，因为，解得.
因此，函数的单调递增区间为.
故选：B.
3.已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（       ）
A．(-¥,0) B．(1,+∞) C．(-¥,1) D．(0,+∞)
【答案】A
【详解】
由题设，则，可得，
而，则，
所以，即，则且递增，
当时，即递减，故递减区间为(-¥,0).
故选：A
4．函数的单调增区间是(       )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵，∴，
当x＞2时，，∴f(x)的单调递增区间是．
故选：D．
5．函数的单调递减区间为__________．
【答案】
【详解】
当时，，则其在上递减，
当时，，则，
当时，，所以在上递减，
综上，的单调递减区间为，
故答案为：
【典型题型讲解】
考点二：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
【典例例题】
例1.如果函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数，所以，
因为函数在上单调递增，
所以对恒成立，即对恒成立，
所以.
故选:D
例2.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由可得：.
因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以在上有解，即在上有解.
设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.
所以.
故选：D
例3.函数在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数，
所以，
令，因为函数在上不单调，
即在上有实数根，
当时，显然不成立，
当时，只需，
解得或，
即，它的充分不必要条件即为一个子集.
结合四个选项可知A为其一个子集，
故选：A.
【方法技巧与总结】
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.
（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.
（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.
【变式训练】
1．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．