人教高中数学第三讲复数讲义解析版.docx

第三讲：复数
【考点梳理】
1、复数的有关概念
（1）形如 ()的数叫做复数，其中 分别是复数的实部和虚部．若 ，则 为实数；若 ，则 为虚数；若 且 ，则 为纯虚数．
(2)复数相等：()．
(3)的共轭复数为 ()．
(4)复数()与复平面的点一一对应．
(5)复数()的模
注意：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．
2、复平面及复数的几何意义
（1）.复平面
（2）复数的几何意义
①复数()复平面内的点.
②复数()平面向量.
（3）复数的模：①定义：向量的模叫做复数()的模或绝对值.
②记法：复数i的模记为或 ③公式：
（3）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
2.表示：的共轭复数用表示，即若()，则
3、复数加法与减法的运算法则
（1）设，()是任意两个复数，则
①；②
（2）对任意，有
①；②.
4、复数加减法的几何意义
如图，设复数，对应向量分别为，，四边形为平行四边形，向量与复数对应，向量与复数对应.
5、复数乘法的运算法则和运算律
（1）复数的乘法法则
设，()是任意两个复数，则.
2.复数乘法的运算律
对任意复数，有
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
6、复数除法的法则
设，(，且)是任意两个复数，
则
7、方程的虚数根
对所有的实系数一元二次方程，若，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根，故实系数方程的虚根成对出现．
8、常用结论
①②③
【典型题型讲解】
考点一：复数的相关概念
【典例例题】
例1.已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（　　）
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若是虚数，则都是虚数.
A．①④ B．② C．②③ D．①②③
【答案】C
【解析】为复数，
①若，因为没有大小（虚部为0，即为实数时除外），故是错误的，
②若，设，则，由，得，所以，正确，
③若，则，正确，
④若是虚数，不一定都是虚数，比如，而是虚数，故错误，
故②③正确，
故选：C.
例2.已知，（，为虚数单位），则实数的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】
，，
，，.
故选：C.
【方法技巧与总结】
复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
【变式训练】
1.已知复数和，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，复数和是实数，成立，
当时，例如，推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2.已知，若复数是纯虚数，则（    ）
A．0 B．2 C．0或 D．
【答案】D
【解析】由复数为纯虚数，
得，解得.
故选：D.
3.若，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【详解】
若，则，
所以则是的充要条件.
故选：C
考点二：复数的运算
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ）
A． B．
C．的共轭复数为 D．的虚部为
【答案】ABD
【详解】由复数，
则，所以A正确；
因为，所以B正确；
根据共轭复数的概念，可得复数的共轭复数为，所以C不正确；
根据复数的基本概念可得，复数的虚部为，所以D正确.
故选：ABD.
例2．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】．ABC
【详解】对于A：
若 ，则，故，
所以A正确；
对于B：
若，则，
所以B正确；
对于C：
设 ，
则 ，故 ，
所以C正确；
对于D：
如下图所示，若 ，，则，，故 ，
所以D错误.
故选：ABC
【方法技巧与总结】
设，则
（1）（2）
（3）
【变式训练】
1．（2022·广东汕尾·高三期末）若复数z满足其中（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，
故选：D．
2．（2022·广东清远·高三期末）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数满足，则（