人教版2021届大题优练4 随机变量及其分布 教师版.docx

随机变量及其分布
大题优练4
优选例题
例1．在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费、车费、保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员在2016年对A地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，并将他们5年以来的新车花费统计如下表所示：
5年花费（万元）
人数
60
100
120
40
60
20
（1）求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）；
（2）以频率估计概率，假设A地区2016年共有100000名新车车主，若所有车主5年内新车花费可视为服从正态分布，，分别为（1）中的平均数以及方差，试估计2016年新车车主5年以来新车花费在的人数；
（3）以频率估计概率，若从2016年A地区所有的新车车主中随机抽取4人，记花费在的人数为，求的分布列以及数学期望．
参考数据：；若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】（1）平均数为8，方差为8；（2）81850人；（3）分布列见解析，．
【解析】（1）依题意，整理表格数据如下：
5年花费（万元）
人数
60
100
120
40
60
20
频率
依题意，，
．
（2）由（1）可知，，，，
，
故所求人数为人．
（3）依题意，，
；；
；；
，
0
1
2
3
4
则．
例2．袋中有大小完全相同的7个白球，3个黑球．
（1）若甲一次性抽取4个球，求甲至多抽到一个黑球的概率；
（2）若乙共抽取4次，每次抽取1个球，记录好球的颜色后再放回袋子中，等待下次抽取，且规定抽到白球得10分，抽到黑球得20分，求乙总得分的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，52．
【解析】（1）甲是无放回地抽取，甲至多抽到一个黑球：基本事件{没有抽到黑球，抽到一个黑球}，
，
，
所以甲至多抽到一个黑球的概率为．
（2）解法一：
乙是有放回地抽取，抽到白球得10分，抽到黑球得20分，
所以抽取4次{4个白球，3个白球1个黑球，2个白球2个黑球，1个白球3个黑球，4个黑球}，
对应的取值有，而每次抽到白球、黑球的概率分别为，，
设4次取球取得黑球次数为，则的可能取值0，1，2，3，4，
，即可得分布列如下：
40
50
60
70
80
．
解法二：
设4次取球取得黑球数为，则，且，
．
例3．已知6只小白鼠中有且仅有2只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠．血液化验呈阳性即为患病，阴性为不患病，现将6只小白鼠随机排序并化验血液，每次测1只，且得到前一只小白鼠的血液化验结果之后才化验下一只小白鼠的血液，直到能确定哪两只小白鼠患病为止，并用X表示化验总次数．
（1）在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求的概率；
（2）求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望．
【解析】（1）“第i次验血结果呈阳性”，，表示的对立事件．
若发生，则需从2只患病小白鼠中选择1只排在第一位，其他位置可随意排，
故符合条件的排列顺序共有种，
若与同时发生，则2只患病小白鼠一定排在第一、第三两个位置，
其他位置可随意排不患病的小白鼠，对应的排列顺序共有种，
所以概率为．
（2）随机变量X的可能取值为，
可得；
；
，
故，
故X的分布列是
X
2
3
4
5
P
数学期望．
模拟优练
1．某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染．拟采用两种方案检测：方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人．先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止，
（1）求这两种方案检测次数相同的概率；
（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由．
【答案】（1）；（2）乙方案，理由见解析．
【解析】由题意可设甲方案检测的次数是X，则，
记乙方案检