人教版2021届大题优练8 圆锥曲线定值定点问题 教师版.docx

圆锥曲线定值定点问题
大题优练8
优选例题
例1．设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若点三点共线，求证：直线l经过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意得，，所以，
所以椭圆C的方程为．
（2）证明：设，，则，，
直线，与椭圆方程联立，
得，
则，，，．
因为点三点共线，所以，即，
所以，
即，
整理得．①
由，，代入①
，整理得，
所以直线l的方程为，即直线l恒过定点．
例2．已知分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，是面积为的直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值？
若是，求出此定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）是定值，定值为．
【解析】（1）由为直角三角形，故，
又，可得，解得，
所以，
所以椭圆的方程为．
（2）当切线的斜率不存在时，其方程为，
将代入，得，
不妨设，，
又，所以；
同理当时，也有．
当切线的斜率存在时，设方程为，，，
因为与圆相切，所以，即，
将代入，得，
所以，，
又，
，
又
，
将代入上式，得，
综上，．
模拟优练
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点分别作直线、交椭圆于两点，设两直线、的斜率分别为，
且，探究：直线是否过定点，并说明理由．
【答案】（1）；（2）直线过定点，理由见解析．
【解析】（1）由点是椭圆的一个顶点，可知，
又是等腰直角三角形，可得，即，
所以，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）若直线的斜率存在，设方程为，依题意，
联立，得，
由已知，设，，
由韦达定理得，，
，
，
，整理得，
故直线方程为，即，
所以直线过定点；
若直线的斜率不存在，设方程为，设，，
由已知得，解得，
此时直线方程为，显然过点，
综上，直线过定点．
2．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线(且)交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，探究：是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）是定值，定值为．
【解析】（1）由题意得，解得，
∴椭圆的方程为．
（2）联立，解得，
其中，解得，
又且，
∴或或．
设，，则，，
∴
，
即是定值，且定值是．
3．已知椭圆的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，椭圆的上、下顶点分别为，，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点，．
求面积的最大值；
②当与相交于点时，试问：点的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②是，1．
【解析】（1）因为点关于直线的