人教版2021届大题优练13 导数极值点偏移 教师版.docx

导数极值点偏移
大题优练13
优选例题
例1．已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若在上有两个极值点， ．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：．
【答案】（1）递减区间，递增区间为；（2）（i），（ii）证明见解析．
【解析】（1），
令，，
因为，，
所以当时，，单调递减；
所以当时，，单调递增，
所以，
所以当时，；当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）（i），
要使在上有两个极值点，，
则在上有两个不同的零点，
①时，由（1）知，，
令，故，所以在上为增函数，
所以，故，故在上无零点，舍去；
②当时，，，，
则在上单调递减 ，故最多只有一个零点，不合题意，舍去；
③当时，由（1）知所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即要使，解得，
综上所述，a的取值范围为．
（ii）由（i）知，，，
即，故，
所以，
要证，只要证，就要证，
由上可知在上单调递增，
所以只要证，而，
所以只要证，（*）
令，
即，
所以，
故在上单调递增，
所以当时，，
即，，即（*）式成立，
所以得证．
例2．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）令，若存在，且时，，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）的定义域为，，
当时，，
当时，由，得；由，得，
∴当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在单调递增．
（2），
∵，由题意知，
∴，
令，则，∴在上单调递增，
不妨设，
∵，∴，∴，
∴，
∴，∴，
令，只需证，只需证，
设，则，
∴在递增，∴，即成立，
∴，即．
模拟优练
1．已知函数，．
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，
（i）判断函数的零点个数；
（ii）求证：有两个极值点，且．
【答案】（1）；（2）①两个；②证明见解析．
【解析】定义域为，．
当时，令，得；令，得，
故在上单调递增，在上单调递减．
（1）当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以．
（2）（i）在上单调递增，在上单调递减，
至多有两个零点．
，，在上有一个零点；
由（1）可证，，
从而，
又，在上有一个零点，
综上，函数有两个零点．
（ii）的定义域为，．
由（i）知有两个零点，
设为，且，且，，
又在上单调递增，在上单调递减．
当或时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故为的两个极值点．
，同理，
欲证，即证．
，，，
，，
令，即证，即证．
记，，
在上单调递增，故，
命题得证．
2．已知函数．
（1）若存在极值点1，求的值；
（2）若存在两个不同的零点，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），
因为存在极值点为1，所以，即，，
经检验符合题意，所以．
（2），
①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；
②当时，由，得．
当时，，所以为增函数；
当时，，所为减函数，
所以当时，取得极小值，
又因为存在两个不同零点，所以，
即，整理得，
作关于直线的对称曲线，
令，
，
所以在上单调递增，
不妨设，则，
即，
又因为，，且在上为减函数，
故，即，
又，易知成立，故．
3．设函数，，其中a为实数．
（1）求的单调区间；
（2）若有两个零点，，证明：．
【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题设可知，的定义域为，，
令，解得．
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．
（2）函数有两个零点等价于方程有两个不等实根，
也等价于函数与的图象有两个交点．
由（1）可知，在递增，在递减．
且当时，；当时，，
故，所以．
欲证，只需证，
因为，故只需证，
又，故只需证明，即证，即，
两边取对数可得，即只需证明．
设，其中，则，
所以在递减，
又，所以，所以．
4．已知函数．
（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数n的值；
（2）若时，函数恰有两个零点，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，，所以．
（2）当时，，
由题意知
②─①，得，即，③
令，则，且，
又因为，由③知，
所以，
要证，只需证，
即证，即，
令，则，
所以在上单调递增且，
所以当时，，