人教版2021届小题必练8 圆锥曲线-教师版.docx

2017年高考“最后三十天”专题透析
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（新高考）小题必练8：圆锥曲线
1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
3．了解圆锥曲线的简单应用；理解数形结合的思想．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
1．【2020全国Ⅰ卷理科】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴，若的斜率为，则的离心率为 ．
【答案】2
【解析】由题可知点的坐标为，所以，且，
代入并化简可得解得或（舍弃）．
【点睛】主要考查双曲线的几何性质、直线的斜率等知识点．
2．【2019全国Ⅰ卷理科】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．
若，，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由椭圆的焦点为，，可知，
又，，可设，则，，
根据椭圆的定义可知，得，
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所以，，可知，
根据相似可得代入椭圆的标准方程，
得，，
椭圆的方程为．
【点睛】利用椭圆的定义及标准方程运算求解．
一、单选题．
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与轴交于点，的内切圆与边切于点，若，则的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设三角形的内切圆的圆心为，在第一象限，如图所示．
作交于，交于，连接，
则，，．
根据双曲线的定义可知，
而
，
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所以，，，即，，
结合，得，
所以双曲线的渐近线方程为，故选A．
2．过双曲线的右焦点的直线交的右支于，两点，直线（是
坐标原点）交的左支于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设左焦点为．
因为直线交的左支于点，所以，两点关于原点对称，
连接，，，
因为，且，，
所以四边形为矩形．
因为，所以令，
则，，，，
在中，，即，解得，
在中，，即，解得，故选C．
3．已知双曲线的左、右顶点分别为，，是上一点，且为
等腰三角形，其外接圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一：
不妨设在第一象限，，
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因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能．
令，则，，，
由正弦定理可得，所以，
则，，
则，，即．
又点在双曲线上，所以，解得，
则，则，故选C．
解法二：
不妨设在第一象限，因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能．
令，则，，，
由正弦定理可得，所以，
则，，即，，
则，，即，
根据，得，则，故选C．
4．过抛物线的焦点作直线与该抛物线交于，两点，若，为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一：
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由题意，知，准线，
作于点，与点，过点作于点，交轴于点，
设，则．
由抛物线的定义，知，，，
，．
由，得，即，解得，
所以，故选A．
解法二：
由题意，知，准线，如图，作于点，
设直线的方程为，，，
将代入抛物线方程，得，所以①．
由，得，即，所以②．
联立①②解得，代入抛物线方程，解得．
由抛物线的定义，知，所以，故选A．
5．已知，分别是双曲线的上、下焦点，是其一条渐近线上的一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，不妨设点在双曲线的过一、三象限的渐近线上，
因此可得．，，所以，
以为直径的圆的方程为，
又以为直径的圆经过点，所以．
由，得，于是，故选C．
6．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点相同，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线方程知其右焦点坐标为，所以，即，
所以抛物线的方程为．
由题