人教高中数学第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用 (精讲）（教师版）.docx

第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用
(精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题
高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题
高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题
高频考点四：平面向量与三角函数的结合
第二部分：高考真题感悟
第一部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题
例题1．（2021·重庆第二外国语学校高三阶段练****已知向量，，则“”是“，夹角为锐角”的（  ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
由题设，，
当时，，注意可能，故充分性不成立；
当，夹角为锐角时，，即，故必要性成立；
故选：B
例题2．（2022·河北承德·高一阶段练****已知向量，，若向量，的夹角是锐角，则的取值范围是（  ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因为，，
所以，
因为向量，的夹角是锐角，所以，解得，且．
所以，实数的取值范围是.
故选：C
例题3．（2022·山东·淄博中学高一阶段练****设，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为___________.
【答案】
因为，，
所以，
当与的夹角为钝角时，，
解得：，
当与反向共线时，，解得，,
所以的取值范围为       
故答案为：
题型归类练
1．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练****已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由与的夹角为锐角知且与不共线，即且，即且.
故选：D.
2．（2022·广东茂名·高一期中）已知向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
因为与的夹角为锐角，则且与不共线.
时，，
当时，
则与不共线时，，
所以与的夹角为锐角的充要条件是且，
显然且是的真子集，
即“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，A正确.
故选：A
3．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）已知，若与的夹角为钝角.则实数的取值范围为______________.
【答案】且
由，又与的夹角为钝角，
所以，即.
当与反向共线时，即有，则，此时与的夹角为，
综上，的取值范围为且.
故答案为：且.
4．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）设向量，满足，，且．若向量与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是________．
【答案】
由题设可得：，
因为向量与的夹角为钝角，
所以且与不反向共线，
可得：，
所以，解得，
若向量与反向共线时，存在实数，使得成立，
可得，解得：（正解舍），
所以与不反向共线，，
综上所述，
故答案为：.
高频考点二：平面向量数量积的最值（或范围）问题
例题1．（2022·全国·高三专题练****已知，若点是所在平面内的一点，且，则的最大值等于（       ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
∵，∴可以A为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；
不妨设，则，故点P坐标为
则，∴
令，则，
则当时，，当时，，
则函数在递增，在上递减，则，即的最大值为12．
故选：C．
例题2．（2022·全国·高三专题练****已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则，设点，
，
于是得：，
当时，取得最小值，
所以的最小值是.
故选：B
例题3．（2021·河北武强中学高一阶段练****已知是边长为1的正六边形内或其边界上的一点，则的取值范围是________.
【答案】
如图，作，垂足为，作于，于，
则，
当是锐角时，，此时，
当是钝角时，，此时，取最小值，
当是直角时，，
综上，的取值范围是．
故答案为：．
题型归类练
1．（2022·北京市第五十中学高一期中）如图，线段，点A，B分别在x轴和y轴的非负半轴上运动，以AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，，设O为原点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：如图令，，由于，故，，
如图，，故，，
故，同理可求得，即，
∴，
∵，∴．∵，∴的最大值是3，最小值是1，