人教高中数学第07讲 抛物线 (精练）（教师版）.docx

第07讲 抛物线 (精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．抛物线的焦点坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意，抛物线的焦点坐标为
故选：C
2．若抛物线上的点P的横坐标为3，则点P到焦点的距离是（       ）．
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
抛物线的焦点，准线为，由P的横坐标为3，
所以P到准线的距离为5，
故点P到焦点的距离是5．
故选：C.
3．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（       ）
A．6 B．8 C．2 D．4
【答案】B
因为抛物线的焦点坐标为，
又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以．
故选：B
4．已知抛物线的焦点F、M是抛物线上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，若的外接圆D与抛物线的准线相切，则圆D与直线相交得到的弦长为（       ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
因为的外接圆与抛物线的准线相切，
所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，
又因为圆心在的垂直平分线上，，
所以圆的半径为，圆心的横坐标为，所以圆心的纵坐标为，
所以圆心到直线的距离，
所以圆与直线相交得到的弦长为.
故选：D.
5．已知点是抛物线的焦点，点M为抛物线上的任意一点，为平面上定点，则的最小值为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
由题意得 ，准线方程为，设点在准线上的射影为，
根据抛物线的定义可知，
要求取得最小值，即求取得最小，
当三点共线时最小，即为.
所以的最小值为.
故选：B.
6．已知抛物线：焦点为，是抛物线上一点，且点到抛物线的准线的距离为3，点在抛物线上运动，则点到直线：的最小距离是（        ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
抛物线的准线为，由到抛物线的准线的距离为3，知，所以抛物线的方程.
设点，点到直线：的距离为，，当且仅当时，
点到直线：的距离有最小值.
故选：D.
7．已知点是抛物线上一点，是抛物线的焦点，是圆的圆心，则的最小值为（       ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
解：设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，
所以的坐标为，
过作的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，
所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，
由平面几何的知识可知，当，，在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，
故选：B．
8．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点（在的右边），为上一点，，则的最小值为（       ）
A．3 B． C． D．5
【答案】A
由题意，抛物线，可得焦点，
又因为直线的倾斜角为，可得斜率，
故直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，解得，，
因为，所以
可得，
过点作垂直于准线于点，根据抛物线的定义，得，
当三点共线且与轴平行时，有最小值，最小值，
所以的最小值为3.
故选：A.
二、多选题
9．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（       ）
A．准线方程为 B．焦点坐标
C．点的坐标为 D．的长为3
【答案】BC
由抛物线方程为，
焦点坐标，准线方程为，A错B对；
直线的斜率为，
直线的方程为，
当时，，
，
，为垂足，
点的纵坐标为，可得点的坐标为，C对；
根据抛物线的定义可知，D错.
故选:BC.
10．抛物线的焦点为，点都在抛物线上，且，则下列结论正确的是（       ）
A．抛物线方程为
B．是的重心
C．
D．
【答案】ABD
对于A，由在抛物线上可得，即抛物线方程为，正确；
对于B，分别取的中点，则，，即在中线上，同理可得也在中线上，所以是的重心，正确；
对于C，由抛物线的定义可得，
所以.
由是的重心，所以，即，
所以，不正确；
对于D，，；
同理,，
所以，正确.
故选：ABD.
三、填空题
11．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为米，跨径为米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为________米．（结果用，表示）
【答案】
如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，
结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为．
故答案为：．
12．已知为坐标原点，抛