人教高中数学第7章 §7.2　球的切、接问题　培优课.docx

§7.2　球的切、接问题
题型一　定义法
例1　(1)已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为(　　)
A．π B.π C．2π D.
答案　D
解析　如图，取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得PA⊥BC，
又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，
在Rt△PBC中，OB＝PC，
同理OA＝PC，
所以OA＝OB＝OC＝PC，
因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上，
在Rt△ABC中，AC＝＝.
在Rt△PAC中，PC＝＝，
球O的半径R＝PC＝，
所以球的体积为π3＝.
延伸探究 本例(1)条件不变，则四面体P－ABC的内切球的半径为________．
答案　
解析　设四面体P－ABC的内切球半径为r.
由本例(1)知，
S△PAC＝PA·AC＝×1×＝，
S△PAB＝PA·AB＝×1×1＝，
S△ABC＝AB·BC＝×1×1＝，
S△PBC＝PB·BC＝××1＝，
VP－ABC＝×AB·BC·PA
＝××1×1×1＝，
VP－ABC＝(S△PAC＋S△PAB＋S△ABC＋S△PBC)·r
＝·r＝，
∴r＝.
(2)在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M－PAD的外接球的表面积为(　　)
A．12π B．34π
C．68π D．126π
答案　C
解析　如图，由题意可知，MP⊥PA，MP⊥PD.
且PA∩PD＝P，PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，
所以MP⊥平面PAD.
设△ADP的外接圆的半径为r，
则由正弦定理可得＝2r，
即＝2r，所以r＝4.
设三棱锥M－PAD的外接球的半径为R，
则(2R)2＝PM2＋(2r)2，
即(2R)2＝4＋64＝68，所以4R2＝68，
所以外接球的表面积为4πR2＝68π.
思维升华　到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
跟踪训练1　(1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________．
答案　
解析　设正六棱柱的底面边长为x，高为h，
则有
∴
∴正六棱柱的底面外接圆的半径r＝，球心到底面的距离d＝.
∴外接球的半径R＝＝1.
∴V球＝.
(2)(2022·哈尔滨模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA＝PD，取AD的中点E，
则PE⊥AD，PE⊥平面ABCD，
则PE⊥AB，由AD⊥AB，AD∩PE＝E，AD，PE⊂平面PAD，可知AB⊥平面PAD，
由△PAD为等边三角形，E为AD的中点知，PE的三等分点F(距离E较近的三等分点)是三角形的中心，过F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心O作平面ABCD的垂线，两垂线交于点I，则I即外接球的球心．
OI＝EF＝PE＝×＝，
AO＝AC＝，
设外接球半径为R，
则R2＝AI2＝AO2＋OI2＝2＋2＝，
所以四棱锥P－ABCD的外接球表面积为S＝4πR2＝4π×＝.
题型二　补形法
例2　(1)在四面体ABCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　)
A．2π B．4π C．6π D．8π
答案　C
解析　由题意可采用补形法，考虑到四面体ABCD的对棱相等，所以将四面体放入一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，则有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R为外接球的半径)，得2R2＝3，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝6π.
(2)(2022·重庆实验外国语学校月考)如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________．