人教高中数学第7章 §7.4　空间直线、平面的平行.docx

§7.4　空间直线、平面的平行
考试要求　1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.
2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
⇒a∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
⇒a∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
⇒β∥α
性质定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
⇒a∥b
常用结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　×　)
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　×　)
(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(　×　)
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　√　)
教材改编题
1．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是(　　)
A．直线a上有无数个点不在平面α内
B．直线a与平面α内的所有直线平行
C．直线a与平面α内无数条直线不相交
D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
答案　D
解析　因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交．
2．已知不重合的直线a，b和平面α，则下列选项正确的是(　　)
A．若a∥α，b⊂α，则a∥b
B．若a∥α，b∥α，则a∥b
C．若a∥b，b⊂α，则a∥α
D．若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α
答案　D
解析　若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，A错；
若a∥α，b∥α，则a∥b或异面或相交，B错；
若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，C错；
若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，D对．
3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．
答案　平行四边形
解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
题型一　直线与平面平行的判定与性质
命题点1　直线与平面平行的判定
例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中点，求证：
(1)PB∥平面ACF；(2)EF∥平面PAB.
证明　(1)如图，连接BD交AC于O，连接OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，
又∵F是PD的中点，∴OF∥PB，
又∵OF⊂平面ACF，PB⊄平面ACF，
∴PB∥平面ACF.
(2)取PA的中点G，连接GF，BG.
∵F是PD的中点，
∴GF是△PAD的中位线，
∴GF綉AD，
∵底面ABCD是平行四边形，E是BC的中点，
∴BE綉AD，∴GF綉BE，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴EF∥BG，
又∵EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
命题点2　直线与平面平行的性质
例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
证明　如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥OM，
又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
教师备选
如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．
证明　∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD.
∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
∴BC