人教高中数学第7章 §7.7　向量法求空间角.docx

§7.7　向量法求空间角
考试要求　能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．
知识梳理
1．异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝.
2．直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
3．平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.
常用结论
1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.
2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　×　)
(2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α 所成的角．(　×　)
(3)二面角的平面角为θ，则两个面的法向量的夹角也是θ.(　×　)
(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是.(　√　)
教材改编题
1．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
所以cos〈s1，s2〉＝＝＝－.
所以l1和l2夹角的余弦值为.
2．已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________．
答案　30°
解析　设直线l与α所成角为θ，
sin θ＝＝，
又∵θ∈，∴θ＝30°.
3．已知两平面的法向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这两个平面夹角的余弦值为______．
答案　
解析　＝.
题型一　异面直线所成的角
例1　(1)(2022·大庆模拟)如图，已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F，G分别为AB，CD1，AD的中点，则异面直线A1G与EF所成角的余弦值为(　　)
A．0 B.
C. D．1
答案　A
解析　如图，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A1(2,0,2)，G(1,0,0)，
E(2,1,0)，F(0,1,1)，
所以＝(－1,0，－2)，＝(－2,0,1)，
设异面直线A1G与EF所成的角为θ，
则cos θ＝
＝＝0.
(2)(2022·杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为∠AOD＝2∠BOD，
且∠AOD＋∠BOD＝π，
所以∠BOD＝，
连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设圆O的半径为2，则A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0，2)，D(，1,0)，
＝(，3,0)，＝(0，－2,2)，
设异面直线AD与BC所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为.
教师备选
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0，)，B(，0,0)，
C(0，，0)，
∴D，
∴＝，
＝(0，，－)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴即异面直线AD，A1C所成角为.
思维升华 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公