人教高中数学第7章 §7.8　空间距离及立体几何中的探索性问题.docx

§7.8　空间距离及立体几何中的探索性问题
考试要求　1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．
知识梳理
1．点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝.
2．点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ＝＝＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(　×　)
(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度．(　×　)
(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．(　√　)
(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(　×　)
教材改编题
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　)
A．10 B．3 C. D.
答案　D
解析　由条件可得P(－2,1,4)到α的距离为
＝＝.
2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　)
A. B．2 C. D.
答案　A
解析　由正方体性质可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面B1D1DB的距离，连接A1C1，交B1D1于O1(图略)，A1O1的长即为所求，由题意可得A1O1＝
A1C1＝.
3．已知直线l经过点A(2,3,1)且向量n＝为l的一个单位方向向量，则点P(4,3,2)到l的距离为________．
答案　
解析　∵＝(－2,0，－1)，n＝为l的一个单位方向向量，
∴点P到l的距离d＝＝＝.
题型一　空间距离
例1　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点．
(1)求点N到直线AB的距离；
(2)求点C1到平面ABN的距离．
解　建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，C1(0,4,4)，
∵N是CC1的中点，∴N(0,4,2)．
(1)＝(0,4,2)，＝(2，2,0)，
则||＝2，||＝4.
设点N到直线AB的距离为d1，
则d1＝＝＝4.
(2)设平面ABN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由n⊥，n⊥，
得
令z＝2，则y＝－1，x＝，即n＝.
易知＝(0,0，－2)，
设点C1到平面ABN的距离为d2，
则d2＝＝＝.
教师备选
1.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为________．
答案　
解析　如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，
B(3,0,0)，
D(0,4,0)，
则＝(－3,0,1)，＝(－3,4,0)，
故点P到直线BD的距离
d＝
＝＝，
所以点P到直线BD的距离为.
2．如图，已知△ABC为等边三角形，D，E分别为AC，AB边的中点，把△ADE沿DE折起，使点A到达点P，平面PDE⊥平面BCDE，若BC＝4.求直线DE到平面PBC的距离．
解　如图，设DE的中点为O，BC的中点为F，连接OP，OF，OB，
因为平面PDE⊥平面BCDE，
平面PDE∩平面BCDE＝DE，
所以OP⊥平面BCDE.
因为在△ABC中，点D，E分别为AC，AB边的中点，
所以DE∥BC.
因为DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以DE∥平面PBC.
又OF⊥DE，
所以以点O为坐标原点，OE，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O，P，B，
C，F，
所以＝，＝.
设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由
得
令y＝z＝1，
所以n＝(0,1,1)．
因为＝(0，，0)，
设点O到平面PBC的距离为d，
则d＝＝＝.
因为点O在直线DE上，
所以直线DE到平面PBC的距离等于.
思维升华 点到直线的距离
(1)设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝
.