人教高中数学第7章 §7.9　空间动态问题突破　培优课.docx

§7.9　空间动态问题突破
题型一　空间位置关系的判定
例1　(1)如图，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝x，BD和AC交于点O，将△BAD沿直线BD翻折，则下列说法中错误的是(　　)
A．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥OC
B．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥BD
C．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥平面ACD
D．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥平面ABD
答案　D
解析　当AB＝x＝1时，此时矩形ABCD为正方形，则AC⊥BD，
将△BAD沿直线BD翻折，若使得平面ABD⊥平面BCD时，
由OC⊥BD，OC⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以OC⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，所以AB⊥OC，故A正确；
又OC⊥BD，OA⊥BD，且OA∩OC＝O，OA，OC⊂平面OAC，
所以BD⊥平面OAC，又AC⊂平面OAC，所以AC⊥BD，故B正确；
在矩形ABCD中，AB⊥AD，AC＝，
所以将△BAD沿直线BD翻折时，
总有AB⊥AD，
取x＝，当将△BAD沿直线BD翻折到AC＝时，有AB2＋AC2＝BC2，
即AB⊥AC，且AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD，
则此时满足AB⊥平面ACD，故C正确；
若AC⊥平面ABD，又AO⊂平面ABD，则AC⊥AO，
所以在△AOC中，OC为斜边，这与OC＝OA相矛盾，故D不正确.
(2)(多选)(2022·烟台质检)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是(　　)
A．平面PB1D⊥平面ACD1
B．A1P∥平面ACD1
C．异面直线A1P与AD1所成的角的范围是
D．三棱锥D1－APC的体积不变
答案　ABD
解析　对于A，根据正方体的性质，易证DB1⊥平面ACD1，
又DB1⊂平面PB1D，
则平面PB1D⊥平面ACD1，故A正确；
对于B，连接A1B，A1C1(图略)，易证明平面BA1C1∥平面ACD1，
又A1P⊂平面BA1C1，
所以A1P∥平面ACD1，故B正确；
对于C，当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成的角取最小值，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成的角取最大值，故A1P与AD1所成的角的范围是，故C错误；
对于D，因为点C到平面AD1P的距离不变，且△AD1P的面积不变，所以三棱锥D1－APC的体积不变，故D正确．
思维升华　解决空间位置关系的动点问题
(1)应用“位置关系定理”转化．
(2)建立“坐标系”计算．
跟踪训练1　(多选)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，且AC＝AA1＝2，E，F分别是AC，A1C1的中点，D，M分别是AA1，BB1上的两个动点，则(　　)
A．FM与BD一定是异面直线
B．三棱锥D－MEF的体积为定值
C．直线B1C1与BD所成的角为
D．若D为AA1的中点，则四棱锥D－BB1FE的外接球表面积为5π
答案　BCD
解析　A项，当M，B重合时，FM(即BF)与BD是相交直线，故A错误；
B项，由已知可得B1F⊥A1C1，又平面ABC⊥平面CAA1C1，
所以B1F⊥平面CAA1C1.
在矩形AEFA1中，△DEF的面积
S＝×EF×A1F＝×2×1＝1.
又B1F＝A1C1＝1，
所以三棱锥D－MEF的体积VM－DEF＝S×B1F＝×1×1＝，所以B正确；
C项，由AA1⊥平面A1B1C1，得AA1⊥B1C1，
又B1C1⊥A1B1，A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面A1B1BA，
所以B1C1⊥平面A1B1BA，
因为BD⊂平面A1B1BA，
所以B1C1⊥BD，所以C正确；
D项，由题意可得四边形BB1FE为矩形，连接BF(图略)，
则矩形BB1FE外接圆的圆心为BF的中点O1，且O1F＝O1B＝.
过O1作O1N⊥EF，垂足为N，连接DN，O1D，
则O1N＝，DN＝1，O1N⊥DN，
故O1D＝，
所以O1是四棱锥D－BB1FE的外接球的球心，外接球的半径为R＝，
则外接球的表面积为S＝4π×2＝5π，
所以D正确．
题型二　轨迹问题
例2　(1)(多选)(2022·日照模拟)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的是(　　)
A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆
B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π
C．若点N到直线B