人教高中数学第08讲 函数的单调性（解析版）.docx

第08讲 函数的单调性
【基础知识全通关】
1．函数单调性的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，
当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数
当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
图象描述
自左向右看，图象是上升的
自左向右看，图象是下降的
设，.若有或，则在闭区间上是增函数；若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.
2．单调区间的定义
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
（3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.
（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
3．函数单调性的常用结论
（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；
（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；
（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；
（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；
（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
（6）一些重要函数的单调性：
①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；
②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
4．函数的最值
前提
设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得
（3）对于任意的，都有；
（4）存在，使得
结论
为最大值
为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
5、判断函数的单调性
1．判断函数单调性的方法：
（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小．
（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．
（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．
（4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．
（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.
2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．
6、 函数单调性的应用
函数单调性的应用主要有：
（1）由的大小关系可以判断与的大小关系，也可以由与的大小关系判断出的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.
（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．
（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意
与的取值应在外层函数的定义域内．
7、 函数最值的求解
1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间上是增函数，则在上的最小值为，最大值为；若函数在闭区间上是减函数，则在上的最小值为，最大值为.
2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.
3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最