人教高中数学第8讲　第1课时　高效演练分层突破.doc

[基础题组练]
1．过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若＜k＜，则椭圆离心率的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由题意知B，所以k＝＝＝1－e.又＜k＜，所以＜1－e＜，解得＜e＜.
2．抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝|AB|，则∠AFB的最大值为________．
解析：由抛物线的焦半径公式可得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2.
又x1＋x2＋4＝|AB|，
即|AB|＝(|AF|＋|BF|)，
所以cos ∠AFB＝＝
＝＝×－≥×2－＝－，
当且仅当＝即|AF|＝|BF|时，等号成立．
又0＜∠AFB＜π，所以∠AFB的最大值为.
答案：
3．设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
解：(1)由题设条件知，点M的坐标为，　
又kOM＝，从而＝.
进而a＝b，c＝＝2b，
故e＝＝.
(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.
又AB＝(－a，b)，
从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．　
由(1)的计算结果可知a2＝5b2，
所以·＝0，故MN⊥AB.
4．(2020·重庆南开中学质检)已知A(0，)，B(，1)是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上的两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，M为椭圆C上一动点，点P(3，0)，线段PM的垂直平分线交y轴于点Q，求|OQ|的最小值．
解：(1)由题意知代入A，B两点坐标得＝1，
＋＝1.
解得a2＝6，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)根据题意知直线PM，QN的斜率存在且不为0.
设点M坐标为(x0，y0)，
则＋＝1，即x＝6－3y.①
线段PM的中点N，kPM·kQN＝－1，
即kQN＝，
所以直线lQN：y－＝.
令x＝0，并结合①式得yQ＝＋＝＋＝，
|OQ|＝|yQ|＝
＝＋|y0|≥2＝，
当且仅当＝|y0|，
即y0＝±时取等号，
所以|OQ|的最小值为.
[综合题组练]
1．(2020·河南阶段性测试)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点到右焦点F(c，0)的最大距离是＋1，且1，a，4c成等比数列．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m，0)，求实数m的取值范围．
解：(1)由已知可得解得
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由题意得F(1，0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．
与椭圆方程联立得消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
可得线段AB的中点为N.
当k＝0时，直线