人教高中数学第8讲　立体几何中的向量方法(二)——求空间角.doc

第8讲　立体几何中的向量方法(二)——求空间角
一、选择题
1.(2016·长沙模拟)在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为(　　)
A. B. C. D.
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).
∴＝(1，1，0)，＝(－1，1，－1)，
∵·＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，
∴⊥，
∴AC与B1D所成的角为.
答案　D
2.(2017·郑州调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
解析　设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，
所以＝(0，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).
令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝－x＋y＝0，n·＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝(1，1，1)，
所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
答案　B
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD
所成的锐二面角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
解析　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系
A－xyz，设棱长为1，
则A1(0，0，1)，
E，D(0，1，0)，
∴＝(0，1，－1)，
＝，
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，所以有即解得
∴n1＝(1，2，2).
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，
∴ cos〈n1，n2〉＝＝.
即所成的锐二面角的余弦值为.
答案　B
4.(2017·西安调研)已知六面体ABC－A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则直线CC1与平面AB1D所成的角为(　　)
A.45° B.60°
C.90° D.30°
解析　如图所示，取AC的中点N，以N为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则A，C，B1，D，C1，
∴＝，＝，＝(0，0，a).
设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，
由n·＝0，n·＝0，可取n＝(，1，－2).
∴cos〈，n〉＝＝＝－，
∴直线CC1与平面AB1D所成的角为45°.
答案　A
5.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是(　　)
A. B. C. D.
解析　如图建立坐标系.则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，＝(2，0，0)，＝(2，2，0)，
设平面A1BD的一个法向量
n＝(x，y，z)，则
∴令z＝1，得n＝(－1，1，1).
∴D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.
答案　D
二、填空题
6.(2017·昆明月考)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直