人教高中数学第8章 §8.2　两条直线的位置关系.docx

§8.2　两条直线的位置关系
考试要求　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
知识梳理
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
位置关系
法向量满足的条件
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
v1∥v2
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且
A1C2－A2C1≠0
垂直
v1⊥v2
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
v1与v2
不共线
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝.
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
常用结论
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋
λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　×　)
(2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　×　)
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　)
(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　√　)
教材改编题
1．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(　　)
A．2 B.
C. D.
答案　C
解析　点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝＝.
2．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于(　　)
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
答案　C
解析　直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠(m≠0)，故m＝2或－3.故选C.
3．直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋7＝0的交点的坐标为________．
答案　(－1,3)
解析　解方程组得
所以两条直线交点的坐标为(－1,3).
题型一　两条直线的平行与垂直
例1　(1)(2022·杭州模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当l1∥l2时，
解得a＝－1或a＝2.
而由ea＝，解得a＝－1，
所以“ea＝”是“l1∥l2”的充分不必要条件．
(2)(2022·长春模拟)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
答案　C
解析　∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，
∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，
∵直线l经过点(1，－1)，
∴1－2＋c＝0，即c＝1.
直线l的方程为x＋2y＋1＝0.
教师备选
1．“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2