人教高中数学第09讲 立体几何与空间向量 章节总结 (讲）（教师版）.docx

第09讲 立体几何与空间向量 章节总结 (精讲）
第一部分：典型例题讲解
题型一：空间位置关系证明的传统法与向量法
角度1：用传统法证明空间的平行和垂直关系
角度2：利用向量证明空间的平行和垂直关系
题型二：空间角的向量求法
角度1：用传统法求异面直线所成角
角度2：用向量法求异面直线所成角
角度3：用向量法解决线面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））
角度4：用向量法解决二面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））
题型三：距离问题
角度1：点到直线的距离
角度2：点到平面的距离（等体积法）
角度3：点到平面的距离（向量法）
题型四：立体几何折叠问题
第二部分：高考真题感悟
第一部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：空间位置关系证明的传统法与向量法
角度1：用传统法证明空间的平行和垂直关系
典型例题
例题1．（2022·四川成都·高一期末（文））如图，四边形ABCD为长方形，，，点、分别为、的中点．设平面平面．
(1)证明：平面；
(2)证明：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；
(1)取PB中点，连接FG，EG，
因为点E、F分别为AD、PC的中点，
所以，，
因为四边形ABCD为长方形，所以，且，
所以，，所以四边形DEGF为平行四边形，
所以因为平面PBE，平面PBE，平面PBE；
(2)由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面，
所以.
例题2．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）如图，在四面体中，，，点是的中点，，且直线面．
(1)直线直线；
(2)平面平面．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1)直线平面，，平面平面，
．
(2)，是的中点，
是的中点．
又，
，
又，，
，
又，，，平面，
平面，
又平面，
平面平面
例题3．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一期中）如图，在正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1)证明：连接交于点，则为的中点，
因为为的中点，则，
平面，平面，因此，平面.
(2)证明：因为且，为的中点，为的中点，
所以，，，所以，四边形为平行四边形，
所以，，平面，平面，所以，平面，
因为，因此，平面平面.
例题4．（2022·甘肃酒泉·高二期末（文））如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1)证明：如图，取中点，连，．
∵为中位线，∴，又平面，平面，
∴平面．
同理，在梯形中，，又平面，平面，
∴平面，且平面，平面，，
∴平面平面．又平面，所以平面．
(2)证明：如上图，在四边形中，过作交于，
在中，得，，，则，得，
∵，∴．
又由已知条件，，故平面．
又平面，∴平面平面．
角度2：利用向量证明空间的平行和垂直关系
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练****如图，在直三棱柱中，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1)在直三棱柱中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，
，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，且平面，则平面
(2)，，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
又平面的法向量，则，则
平面平面．
例题2．（2022·全国·高二课时练****如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，，，分别是棱，，的中点．
求证：（1）直线平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）因为，，是棱的中点，所以，则为正三角形．
因为底面为等腰梯形，所以．
取的中点，连接，则，所以．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则，
令，可得平面的一个法向量为，
则，所以．
又直线平面，所以直线平面．
（2）因为，，，
所以，．
设平面的法向量为，
则，
令，可得平面的一个法向量为．
由（1）知，所以，即，所以平面平面．
例题3．（2022·全国·高二专题练****如图，四棱锥中，底面，，，，是的中点．
求证：（1）；（2）平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.