人教高中数学第9章 §9.2　用样本估计总体.docx

§9.2　用样本估计总体
考试要求　1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．
知识梳理
1．百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．平均数、中位数和众数
(1)平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn)．
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
3．方差和标准差
(1)方差：s2＝(xi－)2或－2.
(2)标准差：s＝.
4．总体(样本)方差和总体(样本)标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝(Yi－)2.
(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2.
常用结论
巧用三个有关的结论
(1)若x1，x2，…，xn的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；
(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；
(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　×　)
(2)方差与标准差具有相同的单位．(　×　)
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　√　)
(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(　√　)
教材改编题
1．(多选)给出一组数据：1,3,3,5,5,5，下列说法正确的是(　　)
A．这组数据的极差为4
B．这组数据的平均数为3
C．这组数据的中位数为4
D．这组数据的众数为3和5
答案　AC
解析　这组数据的极差为5－1＝4，A正确；平均数为＝，B错误；中位数为＝4，C正确；众数为5，D错误．
2．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．众数可以准确地反映出总体的情况
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
答案　CD
解析　对于A，众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体特征，所以A错误；
对于B，一组数的平均数不可能大于这组数据中的每一个数据，所以B错误；
对于C，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，所以C正确；
对于D，方差可以用来衡量一组数据波动的大小，方差越小，数据波动越小，方差越大，数据波动越大，所以D正确．
3．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15, 17,17,18,18，则该组数据的第75百分位数为________．
答案　14.5
解析　∵75%×20＝15，
∴第75百分位数为＝14.5.
题型一　样本的数字特征和百分位数的估计
例1　(1)从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为(　　)
A．92,85 B．92,88
C．95,88 D．96,85
答案　B
解析　数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；将一组数据按照由小到大的顺序排列，计算10×25%＝2.5，取第三个数，第25百分位数是88.
延伸探究　本题中，第70百分位数是多少？
解　10×70%＝7，第70百分位数是第7项与第8项的平均数，为＝94.
(2)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则(　　)
A.＝4，s2<2 B.＝4，s2＝2
C.>4，s2<2 D.>4，s2>2
答案　A
解析　设7个数为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，
则＝4，
＝2，
所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝