人教高中数学第11讲 指数与对数的运算（解析版）.docx

第11讲 指数与对数的运算
【基础知识全通关】
知识点01 根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
知识点02 分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
知识点03 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
知识点04 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
【考点研****一点通】
考点01　指数幂的运算
1.化简a·b－2·÷(a，b>0)
【解析】原式＝－a－b－3÷
＝－a－b－3÷＝－a－·b－
＝－·＝－.
【答案】.
【方法技巧】
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【变式】若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．(a)4＝
【答案】D
【解析】对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确。
考点02 比较指数式的大小
2．设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
，
，
所以.
故选D．
【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；
【变式2】设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a<b<c　　　　　　　　 B．a<c<b
C．b<a<c D．b<c<a
【答案】C
【解析】因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，
即b<a<1.因为函数y＝1.5x在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0，所以1.50.6>1.50＝1，即c>1.综上，b<a<c.
考点03 解简单的指数方程或不等式
3.若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)
A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0
【答案】A　
【解析】(方法一)由2x－2y＜3－x－3－y，可得2x－3－x＜2y－3－y，
令f (x)＝2x－3－x，则f (x)在R上单调递增，且f (x)＜f (y)，
所以x＜y，即y－x＞0，由于y－x＋1＞1，
故ln(y－x＋1)＞ln 1＝0.
(方法二)取x＝－1，y＝0，满足2x－2y＜3－x－3－y，
此时ln(y－x＋1)＝ln 2＞0，ln|x－y|＝ln 1＝0，可排除BCD．
【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；
【变式3】设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【答案】C
【解析】当a<0时，不等式f(a)<1可化为－7<1，即<8，即<，因为0<<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1，所以0≤a<1.故a的取值范围是(－3，1)．故选C.
考点04　对数的化简与求值
4．已知55<