人教高中数学第28讲 平面向量的概念与线性运算（解析版）.docx

第28讲 平面向量的概念与线性运算
【基础知识网络图】
平面向量
平面向量的概念
平面向量的坐标表示
平面向量的基本定理
平面向量的线性运算
【基础知识全通关】
向量的概念
1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点.
向量的长度又称为向量的模；
长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.
2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.
平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.
3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.
4. 与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量.
【微点拨】 ①有向线段的起、终点决定向量的方向，与表示不同方向的向量；
②有向线段的长度决定向量的大小，用表示，.
③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关.
二、向量的加法、减法
1．向量加法的平行四边形法则
平行四边形ABCD中（如图），
向量与的和为,记作:.（起点相同）
2．向量加法的三角形法则
根据向量相等的定义有:，即在Δ中，.
首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.
规定:零向量与向量的和等于.
3. 向量的减法
向量与向量叫做相反向量.记作:.
则.
【微点拨】
①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.
②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”.
三、实数与向量的积
1．定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量,记作，它的长与方向规定如下：
（1）；
（2）当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反； 当=0时，；
2．运算律
设，为实数，则
（1）；
（2）；
（3）
3．向量共线的充要条件
已知向量、是两个非零共线向量，即，则与的方向相同或相反.
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使.
【微点拨】
①向量数乘的特殊情况：当时，；当时，也有；实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.
②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量.
四、平面向量的坐标运算
1．平面向量的坐标表示
选取直角坐标系的x轴、y轴上的单位向量，为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量表示成的形式，由于与数对（x,y）是一一对应的，因此把（x,y）叫做向量的坐标表示.
2．平面向量的坐标运算
已知，，则
（1）
（2）
3．平行向量的坐标表示
已知，，则（）
【微点拨】
①若，，则的充要条件不能表示成，因为有可能等于0，所以应表示为；同时的充要条件也不能错记为，等.
②若，，则的充要条件是，这与在本质上是没有差异的，只是形式上不同.
【考点研****一点通】
考点一　平面向量的有关概念
例1、给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是(　　)
②③ B.①② C.③④ D.②④
【答案】A
【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，
∥且，方向相同，因此＝.
③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件.
综上所述，正确命题的序号是②③.
【变式1-1】给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D　
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.