人教高中数学第二节 第1课时 系统知识牢基础——导数与函数的单调性、极值与最值 教案.doc

第二节　导数在研究函数中的应用
第1课时　系统知识牢基础——导数与函数的单调性、极值与最值
知识点一　利用导数研究函数的单调性
1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递增．
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上单调递减．
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间上是常数．
2．利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求f′(x)．
(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间．
[提醒]　(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．
(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．
[重温经典]
1.(多选·教材改编题)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(2,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．当x＝2时，f(x)取到极大值
答案：BCD
2．(教材改编题)函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，－1)和(0,1)　　 B．[－1,0]和[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
答案：A
3．(易错题)若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选C　y′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
4．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选D　因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1.故选D.
5．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．
解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.
答案：(0，＋∞)
6．设函数f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知f(x)＝－x3＋x2在(1,4)上为“凸函数”，则实数t的取值范围是________．
解析：由f(x)＝－x3＋x2可得f′(x)＝x3－tx2＋3x，f″(x)＝3x2－2tx＋3，∵f(x)在(1