人教高中数学第二章 直线和圆的方程知识总结.docx

第二章 直线和圆的方程单元总结

要点1.直线的倾斜角的斜率
令直线的倾斜角为，斜率为，
（1），其中，当时，斜率不存在；
（2）过的直线斜率.
要点2.直线方程的几种形式
（1）点斜式
注意：①表示不含才是整条直线方程。
②当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为.
③在解题时若选用点斜式的话，应单独考虑斜率不存在时的情况.
（2）斜截式
.
注意：在解题时若选用斜截式的话，应单独考虑斜率不存在时的情况.
（3）两点式
注意：①两点式方程的条件是，即不能表示平行（或重合）于坐标轴的直线。
②若把两点式写成：，则可适用任何位置的直线.
（4）截距式
.
注意：①截距是坐标而不是长度.
②当斜率不存在或为零时，或直线过原点时，都不能用截距式，因此用截距式时应单独考虑这几种情形.
（5）一般式
.
要点3.两直线的位置关系
（1）两直线的位置关系
设.（都存在）
①与相交，特别地；
②且；
③与重合且.
设
①与相交，特别地；
②且；
③与重合且.
（2）点到直线的距离
设，直线，点到直线的距离，特别地，.
注意：①当在上时，则；
②当在上方，则；
③当在下方，则.
（3）两平行线间距离
设.
，与间的距离.
（4）直线系方程
①平行直线系：（为常数，为变数），表示一组斜率为的平行直线。
②共点直线系：[定点为为变数]，表示一束过定点的直线（不包括直线
）.
③过直线交点的直线系：设，则表示一束过交点的直线（不包括）.
（5）中心对称和轴对称
①中心对称：设点关于点对称，则.
②轴对称：设关于直线对称，则
a.时，有，且 ；
b. 时，有，且 ；
c.时，有且.
要点4.几个值得注意的问题
（1）关于五种形式的直线方程及其转化形式要注意：
①直线斜率往往是求直线的关键，若不能判定直线有斜率，必须分两种情况讨论；
②在直线的斜截式或截距式中，其“截距”不等于“距离”；
③当斜率不存在时，会正确选择直线的表示形式，同时注意直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式表示直线的局限性。
（2）关于两条直线的位置关系要注意：
①判断垂直或平行时，要考虑两条直线中一条无斜率或都无斜率的情况；
②区分“到角”与“夹角”的异同，以及“到的角”与“到的角”的不同；
③利用公式，要注意将直线方程化为一般形式，利用公式求平行线间的距离，要注意把对应项的系数化为相同.
（3）关于直线倾斜角要注意：
①注意与斜率概念的区别
直线的斜率是直线倾斜角的正切值，任何一条之下都有倾斜角，但并不是任何一条直线都有斜率，当直线的斜率不存在时，其倾斜角等于；
②注意倾斜角的取值范围
直线倾斜角的取值范围是，且当时，；当时.在通过斜率的范围求倾斜角的范围时，应特别注意，否则容易出现错误.
要点5．圆的方程
（1）标准式：圆心为点，半径为的圆的标准方程为．特别地，当圆心在坐标原点时，圆的方程为；
（2）一般式：；
（3）值得关注的几个问题
①在二元二次方程中，和的系数相等摒弃没有项，只是表示圆的必要条件，而不是充分条件．
②如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程．
③在一般方程中，当时．方程表示一个点；当时，无轨迹．
④由于圆的方程均含有三个参变（、、或、、），而确定这三个参数必须有三个独立条件，因此，三个独立条件确定一个圆．
⑤待定系数是求圆的方程的常用方法．
要点6．点与圆的位置关系
(1)点在圆上
①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上．
②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．
注意：若点是圆为一定点，则该点与圆上的点的最大距离：，最小距离：．
要点7．直线一与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系有相交、相离、相切三种，其判别方法有：
①代数法：通过解直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究．若有两组不同的实数解(即)，则相交；若有两组相同实数解(即)，则相切；若无实数解，则相离．
②几何法：由圆心到直线的距离与半径的大小来判断．当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离．
（2）值得关注的几个问题
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离，最小距离．其中为圆心到直线的距离．
②当直线与圆相交时，设弦长为，弦心距为，半径为，则有．
③当直线与圆相交时，设弦长为，则．
④当直线与圆相切时，切线的求法有如下几种：
a．若点在圆上，则切线方程为．
若点在圆上，则切线方程为．
b．斜率为且与圆相切的切线方