人教高中数学第三节 第2课时 精研题型明考向——平面向量的数量积及应用 教案.doc

第2课时　精研题型明考向——平面向量的数量积及应用
一、真题集中研究——明考情
1．(2020·全国卷Ⅲ·考查数量积的运算、模)
已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)
A．－　　　　　　　　　B．－
C. D．
解析：选D　由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，所以cosa，a＋b＝＝＝，故选D.
2．(2020·全国卷Ⅱ·考查向量垂直)
已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
解析：选D　法一：由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝.
对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合题意；
对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；
对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；
对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D.
法二：不妨设a＝，b＝(1,0)，则a＋2b＝，2a＋b＝(2，)，a－2b＝，2a－b＝(0，)，易知，只有(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b，故选D.
法三：根据条件，分别作出向量b与A，B，C，D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示：
由图易知，只有选项D满足题意，故选D.
3．(2019·全国卷Ⅱ·考查数量积的坐标运算)
已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A．－3　　　　　　　　　　 B．－2
C．2 D．3
解析：选C　∵＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，||＝1，∴＝1，解得t＝3，∴＝(1,0)，
∴·＝2×1＋3×0＝2.
4．(2019·全国卷Ⅰ·考查两向量的夹角)
已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，
即a·b＝b2.
∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为.
5．(2020·新高考全国卷Ⅰ·考查数量积的范围)
已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
解析：选A　法一：如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(－1，)．
设P(x，y)，则＝(x，y)，
＝(2,0)，且－1<x<3.
所以·＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．故选A.
法二：·＝··cos∠PAB＝2·cos∠PAB，
又cos∠PAB表示在方向上的投影，
所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．
又·＝2×2×cos 30°＝6，
·＝2×2×cos 120°＝－2，
故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2,6)．故选A.
[把脉考情]
常规角度
1.平面向量数量积及其性质的应用：主要考查平面向量数量积的计算，以及利用数量积求向量的模、夹角等．
2.平面向量的综合应用：主要考查平面向量模或数量积的最值范围问题
创新角度
平面向量的数量积与解析几何、平面几何以及三角函数交汇，主要利用数量积证明垂直或利用数量积转化垂直的条件、求长度等
二、题型精细研究——提素养
题型一　平面向量数量积的运算
[典例]　(1)(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，则下列结论正确的有(　　)
A．·＝－　　　　　 B．＋＝－
C．·＝· D．·＝1－
(2)已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值为________．
[解析]　(1)对于A：·＝1×1×cos＝－，故正确．对于B：＋＝ ＝－，故正确．对于C：||＝||，|HO―→|＝||，但对应向量的夹角不相等，所以不成立，故错误．对于D：·＝||2cos ＝1－，故正确．
(2)法一：定义法
由题意可知△ABC为直角三角形，且∠B＝，cos A＝，cos C＝.
∴·＋·＋·＝·＋·＝4×5×cos(π－C)＋5×3×cos(π－
A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－25.
法二：坐标法
易知