人教高中数学第三节 三角函数的图象与性质 教案.doc

第三节　三角函数的图象与性质
核心素养立意下的命题导向
1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．
2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养．
3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
[理清主干知识]
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π， －1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
xx∈R，且x≠kπ＋，k∈Z
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在－＋kπ，＋kπ(k∈Z)上是递增函数
周期性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是
对称性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋，0(k∈Z)
对称中心是(k∈Z)
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(三角函数的定义域)函数y＝tan 2x的定义域是(　　)
A.　　 B.
C. D.
答案：D
2．(三角函数的周期性)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________.
答案：2
3．(三角函数的奇偶性)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.
解析：由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝.
答案：
4．(三角函数的对称性)函数f(x)＝3sin的对称轴为________，对称中心为________．
答案：x＝＋(k∈Z)　(k∈Z)
5．(三角函数的单调性)函数y＝tan的单调递增区间为__________________．
答案：(k∈Z)
二、易错点练清
1．(忽视正切函数自身的定义域)函数y＝lg(3tan x－)的定义域为________________．
解析：要使函数y＝lg(3tan x－)有意义，
则3tan x－>0，即tan x>.
所以＋kπ<x<＋kπ(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
2．(忽视ω与0的大小关系对单调性的影响)函数y＝sin的单调递增区间为________________．
解析：y＝sin＝－sin，
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调递增区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
3．(忽视正、余弦函数的有界性)函数f(x)＝2cos2x＋5sin x－4的最小值为________，最大值为________．
解析：f(x)＝2cos2x＋5sin x－4＝－2sin2x＋5sin x－2＝－22＋.因为－1≤ sin x≤1，所以当sin x＝－1时，f(x)有最小值－9；当sin x＝1时，f(x)有最大值1.
答案：－9　1
考点一　三角函数的定义域、值域
[典题例析]　
(1)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
(2)函数y＝的定义域为____________________．
(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的值域为________．
[解析]　(1)∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.
(2)要使函数有意义，必须有
即故函数的定义域为
.
(3)设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos