人教高中数学第十四讲解三角形解析版.docx

第十四讲：解三角形
【考点梳理】
正弦定理
在中，(为外接圆半径).
变形形式：（1）
余弦定理
①；②；③。
推论：①；②；③
三角形面积公式

重要结论
在中，分别为角的对边，.
（2）内角和定理：
①
同理有：，.
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，内角成等差数列.
【典型题型讲解】
考点一：正、余弦定理
【典例例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三期末）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，且的面积为，且，求和的值.
【答案】
(1)
解：在中，因为，
所以由正弦定理可得，
又，
所以，即，
，
(2)
解：由余弦定理及三角形面积公式得，即，
因为，所以解得.
例2．（2022·广东·铁一中学高三期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.
（1）求角；
（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）选①，由正弦定理得，
∵，∴，即，
∵，∴，
∴，∴.
选②，∵，，
由正弦定理可得，
∵，∴，
∵，∴.
选③，∵，
由已知结合正弦定理可得，
∴，∴，
∵，∴.
（2）∵，即，
∴，解得，当且仅当时取等号，
∴，周长的最小值为6，此时的面积.
【方法技巧与总结】
在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
【变式训练】
1．（2022·广东东莞·高三期末）的内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)；(2).
（1）
解：因为，由正弦定理得，
即，
由，得，因为，所以.
（2）
解：由，，得，解得，
由，即，即.
由，得，
故，所以的周长为.
2．（2022·广东汕尾·高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求角B
(2)当b=3时，求的面积的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)
由正弦定理得：，整理得，
所以，
因为，所以
(2)
因为，
所以（当且仅当时等号成立），
所以面积的最大值.
3．（2022·广东惠州·一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.
(1)求证：；
(2)当时，求.
【答案】
（1）证明：因为所以，所以所以，结合正弦定理，可得，命题得证.
（2）解：由题意知，点是边的中点，则两边平方整理得，即根据余弦定理两式相加得，再由余弦定理
4．（2022·广东·一模）在中，角的对边分别为，下面给出有关的三个论断：①；②；③.
化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出所有可能的真命题.（不必证明）
论断①：；论断②：或；论断③：；所有可能的真命题有：①③②和①②③.
【详解】论断①中，由余弦定理得：，，.
论断②中，，由正弦定理得：，
，，或，
论断③中，由正弦定理得：，
即，
，
即，
，，，
即，，即，
又，，，解得：
以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，所有可能的真命题有：
①③②和①②③.
5．（2022·广东湛江·一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】．(1)(2)
(1)由正弦定理，得,即，
由余弦定理得，，
又，所以.
(2)由和（1）可知，
则，
得，即，
所以（当且仅当时，取得等号），
所以周长的最大值为.
6．（2022·广东广州·一模）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.
(1)证明：；
(2)若，求.
【答案】(1)证明见解析；(2).
（1）
由题设，，又，
所以，由正弦定理可得，
所以，又，
所以，即.
（2）
由（1）及题设，，且，
所以，则，故，
又，可得，
若，则，而，故不合题设；
所以，
所以.
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