人教高中数学解密05 空间几何体的表面积和体积（讲义）.doc

解密05 空间几何体的表面积和体积
核心考点
读高考设问知考法
命题解读
空间几何体的表面积
【2018新课标1文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.
【2018新课标2理16】已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_______．
【2017新课标1文18】如图，在四棱锥中，，且（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．
【2015新课标1文18】如图四边形为菱形，为与交点，平面， （I）证明：平面平面；
（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．
空间几何体的体积
【2018新课标2文16】已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为________．
【2019新课标3文理16】学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为
，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________．
【2020新课标1文19】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面⊥平面；
（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．
多面体与球的切、接问题
【2020新课标1理10文12】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
【2020新课标2理10文11】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则到平面的距离为（ ）
【2020新课标3理15文16】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【2020新高考全国16】已知直四棱柱的棱长均为，．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________．
【2017新课标1文16】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为 ．
【2019新课标1理12】已知三棱锥P‒ABC的四个顶点在球O的球面上，，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是、的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为( )

核心考点一 空间几何体的表面积
柱体、锥体、台体、球的表面积公式：
①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；
②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；
③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；
④球的表面积S＝4πR2.
1.【2018新课标1文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A． B． C． D．
【解析】截面面积为，所以高，底面半径，所以表面积为，故选B．
2．【2017新课标1文18】如图，在四棱锥中，，且
（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．

【解析】（1）由已知，得，．
由于，故，从而平面．
又平面，所以平面平面．
（2）在平面内作，垂足为．
由（1）知，平面，故，可得平面．
设，则由已知可得，．
故四棱锥的体积．
由题设得，故．
从而，，．
可得四棱锥的侧面积为．
1．【2018新课标2理16】已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
【解析】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，
因为的面积为，设母线长为，所以，，
因与圆锥底面所成角为，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为．
2．【2015新课标1文18】如图四边形为菱形，为与交点，平面，
（I）证明：平面平面；
（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．
【解析】(Ⅰ) ∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC．
∵ABCD为菱形，∴ BD⊥AC，
∴AC⊥平面BED，又ACÌ平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED．
(Ⅱ)设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°可得，
AG=GC=，GB=GD=． 在RtΔAEC中，可得EG=．
∴ 在RtΔEBG为直角三角形，可得BE=．
∴ ，解得