人教高中数学解密12 圆锥曲线中的热点问题（讲义）.doc

解密12 圆锥曲线中的热点问题
核心考点
读高考设问知考法
命题解读
圆锥曲线中的最值、范围问题
【2017新课标1文12】设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；
2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法的考查.
【2017新课标1理10】已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为( )
【2014新课标1理20】已知点，椭圆:的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（I）求的方程；（II）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的直线方程．
圆锥曲线中定值、定点问题
【2018新课标1理19】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为（1）略；（2）设为坐标原点，证明：.
【2020新课标Ⅰ理20】已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.
【2020新高考全国21】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点A(2，1).(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.
【2017新课标1理20】已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上．（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于两点，若与的斜率的和为，证明：直线过定点．
圆锥曲线中的存在性问题
【2016新课标1文20】在直角坐标系中，直线:交轴于点，交抛物线：于点，关于点的对称点为，连结并延长交于点．（I）求； （II）除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由．
【2015新课标2理20】 已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．(Ⅰ)证明：直线与的斜率乘积为定值；（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．

核心考点一 圆锥曲线中的最值、范围问题
1.圆锥曲线常考查的几何量
(1)直线方程：会用点斜式或斜截式设直线方程；
(2)线段长、面积：三角形、四边形的面积中蕴含着线段长、点到直线的距离公式；
(3)斜率公式、共线点的坐标关系：由两点坐标会表示出对应的直线斜率，共线点的横坐标或纵坐标也满足比例关系；
(4)平面图形的几何性质：平行四边形、菱形等图形中的几何性质，如垂直、平行、平分、中点关系；
(5)向量关系的转化：会把向量关系转化为对应点，如坐标关系.
2.圆锥曲线中的范围、最值问题：可以转化为函数的值域、最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.
温馨提醒　圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.
1.【2017新课标1文12】设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
图 1 图 2
【解析】解法一：设是椭圆C短轴的两个端点，易知当点是椭圆C短轴的端点时最大，依题意只需使．
①当时，如图1，，解得，故；
②当时，如图2，，解得．
综上可知，m的取值范围是，故选A．
解法二：设是椭圆C短轴的两个端点，易知当点是椭圆C短轴的端点时最大，依题意只需使．
①当时，如图1，，即，
代入向量坐标，解得，故；
②当时，如图2，，即，
代入向量坐标，解得．综上m的取值范围是，故选A．
2．【2014新课标1理20】已知点，椭圆:的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点． （I）求的方程； （II）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的直线方程．
【解析】(Ⅰ) 设，由条件知，得，又，
所以， ，故的方程．
（Ⅱ）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设
将代入，得，
当，即时，
从而，又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积 ，设，则，，
当且仅当，等号成立，且满足，
所以当OPQ的面积最大时，的方程为 或．
1．【2017新课标1理10】已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
【解析1】由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率