人教高中数学解密20 椭圆 (解析版）.docx

解密20 椭圆
【考点解密】
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点
坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的关系
a2＝b2＋c2
【方法技巧】
1.椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见求法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
2.涉及与椭圆有关的轨迹方程及椭圆中的定点定值，.
求轨迹方程方法为直接法，即将题意转化为代数语言，化简即得轨迹方程；
对于定点问题，常可由对称性确定定点所在位置，后由三点共线结合向量共线或斜率相等可得定点坐标.
【核心题型】
题型一：利用椭圆的定义解决焦点三角形或者边长问题
1．（2023·全国·高三专题练****已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于P，Q两点，若，则椭圆C的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知可设可求出所有线段用表示，在中由余弦定理得从而可求.
【详解】如图，由已知可设，又因为
根据椭圆的定义，
在中由余弦定理得，所以
故椭圆方程为：
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练****已知点P是椭圆C：上一点，点、是椭圆C的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（    ）
A．2 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】设的内切圆半径为，则，结合
，，，，可得，再由即可求解.
【详解】由题意可得：，，
设的内切圆半径为，
所以，
因为的内切圆半径的最大值为，
所以
因为，所以，可得，
又椭圆的长轴长为4，即，
由，求得，所以的面积的
故选：A
3．（2022秋·黑龙江佳木斯·高三建三江分局第一中学校考期中）已知在平面直角坐标系中，，，，，，P为该平面上一动点，记直线PD，PE的斜率分别为和，且，设点P运动形成曲线F，点M是曲线F上位于x轴上方的点，则下列说法错误的有（    ）
A．动点P的轨迹方程为
B．面积的最大值为
C．的最大值为5
D．的周长为6
【答案】A
【分析】设，由两点求直线斜率公式化简可求点P的轨迹方程，即可判断A；结合焦点三角形的面积计算即可判断B；根据椭圆的定义和三角形三边的大小关系即可判断C；结合焦点三角形的周长为定值2a+2c，即可判断D.
【详解】由题意得，
设点，则，
由，得，
整理，得，
即动点P的轨迹方程为，故A错误；
由可得，所以，为的焦点，
故当点运动到椭圆的上顶点时，的面积最大，
此时，故B正确；
将代入可得，故在椭圆内，
由椭圆的定义，得，
而，
当且仅当三点共线且点P位于第四象限时等号成立，
所以，故C正确；
焦点三角形的周长为定值，故D正确.
故选：A.
题型二：待定系数法求椭圆方程
4．（2022·全国·高三专题练****平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，离心率为.过点
的直线l与C交于A、B两点，且△周长为，那么C的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆定义以及离心率即可求解的值，进而根据 的关系即可求解，即可得椭圆方程.
【详解】如图，设椭圆方程为.
∵△周长为，∴4a，得a.
又，∴ .
则 .
∴椭圆C的方程为：.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练****已知、是椭圆C：的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，且.若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据