人教高中数学考点06 基本不等式及应用（解析版）.docx

考点06 基本不等式及应用
【命题解读】
基本不等式及其应用等，一般有两种命题方式：一是运用基本不等式研究函数的最值问题；二是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.
【基础知识回顾】
1、基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2、算术平均数与几何平均数
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3、利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
4、基本不等式的两种常用变形形式
(1)ab≤2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(2)a＋b≥2(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
5、几个重要的结论
(1)≥2.
(2)＋≥2(ab>0)．
(3)≤≤ (a>0，b>0)．
1、（2021·潍坊市潍城区教育局月考）下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg(x2＋)>lgx(x>0) B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C． D．>1(x∈R)
【答案】C
【解析】
当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg(x2＋)≥lgx(x>0)，故选项A不正确；
当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不能确定，故选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
故选：C.
2、若正数满足，则的最小值为（　　）
A. B.
C. D.3
【答案】A
【解析】由题意，因为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故选A。
3、（2020·湖南雅礼中学期中）（多选题）给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.
A．若，则；
B．若则；
C．若，，则；
D．若，，则.
【答案】AD
【解析】
对于选项A，因为，则，当且仅当，即时取等号，即选项A正确；
对于选项B，当时，，显然不成立，即选项B错误；
对于选项C，当时，显然不成立，即选项C错误；
对于选项D，，则，则，当且仅当，即时取等号，即选项D正确，
即四个推段中正确的为AD，
故答案为AD.
4、已知a>0, b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．
【答案】 2　
【解析】、 利用基本不等式，化和的形式为积的形式．
因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝＝时，取等号．
5、一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．
【答案】15　
【解析】设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．
6、(一题两空)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________．
【答案】2　
【解析】∵a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤×2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵＋＝·＝≥·＝，当且仅当a＝b
时等号成立，∴＋的最小值为.
考向一　运用基本不等式求函数的最值
例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）若，则的最小值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】
∵，
∴，
∴，且，，
∴，
∴
，
当且仅当且即时，等号成立；
故选：C．
变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．9
【答案】D
【解析】
由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
转化成求的最小值，
，所以．
故选：D．
变式2、　(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．
(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．
(3)函数y＝(x>1)的最小值为________．
【答案】(1)　(2)1　(3)2＋2
【解析】　(1)x(4－3x)＝×(3x)·(4－3x)≤×2＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．
故所求x的值为.
(2)因为x<，所以5－4x>0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝